INFO TEST 1 SPE MATH TES

+z

                       INFO DS n° 1               Spé maths          TES       Lundi 10 octobre 2011

            EXERCICE 1          12 POINTS    

                        L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O , vect( i ) , vect( j ) , vect( k ) ).

                        Soit les points A( 3 ; 1 ;1 )   , B( 0 ; 4 ; 0 ) , C( 0 ; 5 , 2 )

             1. Les points A , B et C déterminent-ils un plan?

                   On a :         vect(AB ) ( - 3 ; 3 ; - 1 )   et vect( AC )  ( - 3 ; 4 ;  1 )

                   Regardons si les vecteurs vect( AB ) et vect( AC ) sont colinéaires.

                   On peut dire qu’ils n’ont pas les coordonnées proportionnelles.

                   Plus clairement on regarde s’il existe un réel λ tel que:

                                  vect( AB ) = λ vect( AC )

                   c-à-d          - 3 = - 3 λ

                                      3 = 4 λ

                                     - 1 = 1 λ

                  c-à-d            λ = 1  et  λ = 3 / 4    et  λ = - 1     Contradiction

                 On ne peut pas trouver un tel réel λ.

                Les vecteurs vect( AB ) et vect( AC ) ne sont pas colinéaires.

                Les points A , B , C n’étant pas alignés ils déterminent bien un plan ( ABC ).

                Conclusion :   Les points A , B , C déterminent un plan ( ABC ).

          2. a . Donnons un vecteur normal vect(n ) à ce plan ( ABC).

                    Soit le vecteur vect( n ) de coordonnées ( a , b , c ) tel que :

                                 ( a , b , c ) ≠ ( 0 , 0 , 0 )   

                                 vect( n ) . vect( AB ) = 0

                                 vect( n ) . vect( AC ) = 0

              c-à-d    

                                   ( a , b , c ) ≠ ( 0 , 0 , 0 )   

                                 - 3 a + 3 b - c = 0

                                 - 3 a + 4 b + c = 0

                           c-à-d 

                            ( a , b , c ) ≠ ( 0 , 0 , 0 )

                                  - 3 a + 3 b  =  c           L₁

                                  - 3 a + 4 b  = - c           L₂

                        c-à-d               L₁  ←   L₂   - L₁ 

                                     ( a , b , c ) ≠ ( 0 , 0 , 0 )

                                            b = - 2 c                         L₁ 

                                           a = ( 4 b  + c ) /  3            L₂

                          Fixons la valeur la valeur de c pour obtenir a et b

                           en respectant ( a , b , c ) ≠ ( 0 , 0 , 0 )

                            c est considéré comme un paramètre.

                                Prenons par exemple c = - 3 

                                  b = 6

                                  a = ( 24 - 3 ) / 3 = 21 / 3 = 7

                 Prenons   ainsi   a = 7      b = 6      c = - 3

            Conclusion :      Le vecteur  vect( n ) de coordonnées ( 7 ; 6 ; - 3 )

                                      convient comme vecteur normal .

                                   Attention on pouvait prendre une autre valeur pour c.

                    b. Trouvons une équation du plan ( ABC ).

                      Elle peut être de la forme 7 x + 6 y - 3 z + d = 0    

                    Comme le point B( 0 ; 4 ; 0 ) a ses coordonnées qui doivent la vérifier

                     on a :      7 × 0 + 6 × 4  - 3 × 0 + d = 0  

                      c-à-d             24  + d = 0    

                      c-à-d     d = - 24

                            Conclusion: Le plan  ( ABC ) admet comme équation possible 

                                           7 x + 6 y - 3 z - 24  = 0       

                     c. Regardons si le point D( 3 ; 0 ; - 1 ) est dans le plan ( ABC ).

                        On a :    7 × 3 + 6 ×0 - 3 ×( - 1 ) - 24 = 21 + 3 - 24 = 0

                         Le point D a ses coordonnées qui vérifient notre

                          équation du plan ( ABC ).

                           Conclusion:   OUI . Le point D est dans le plan ( ABC ).

                      d. Comparons les vecteurs  vect( AC ) et vect( DB ).

                          Les coordonnées du vecteur  vect( AC ) sont : ( - 3 ; 4 ; 1 )

                         D’autre part

                          x_B - x_D = 0 - 3  = - 3

                          y_B - y_D = 4 - 0 = 4

                         z_B - z_D = 0 - ( - 1 ) =1

                         Les coordonnées du vecteur vect( DB ) sont aussi : ( - 3 ; 4 ; 1 )

                         Ces deux vecteurs sont donc égaux.

                        Conclusions  :  vect( AC ) = vect( DB )

                         Figure :

               3. Regardons si l’on peut trouver deux réels α  et   β  tels que :

                    vect( AB) = α  vect( AD ) +  β  vect( AC )  

              Les coordonnées du vect( AD ) sont ( 0 ; - 1 ; - 2 )

                    Considérons la traduction analytique de cette égalité

                    ( c-à-d au niveau des coordonnées )

              - 3 =  0 × α +( - 3 ) ×β

                3 = - 1× α + 4×β

                -1 = - 2 × α + 1×β

                   c-à-d      - 3 = - 3 β

                                - 3 =  - α + 4 β  

                                -1 = - 2  α +  β

                c-à-d     β = 1

                              α =  - 3 + 4 = 1

                            - 1 = - 2 + 1

            Conclusion :  OUI.    α = 1 et   β = 1

                           vect( AB) = vect( AD ) +    vect( AC )  

         Donnons une représentation paramétrique de la droite ( AB ).

          Elle passe par A( 3 ; 1 ; 1 ) et est de  vecteur directeur vect( AB )

            de coordonnées ( - 3 ; 3 ; - 1 )

             Donc :

                     x = 3 - 3 t

                     y = 1 + 3 t

                     z = 1 - t                avec t dans IR

      5. Donnons une représentation paramétrique du plan ( P ).

          Le plan ( P ) est le plan (ABC ) car ils ont la même équation .

          Les vecteurs vect (AB ) et vect( AC ) sont donc des vecteurs directeurs du plan ( P ).

        Il passe par le point B .

               Donc :

                   x = 0   - 3 t - 3 t’

                  y =  4 +  3t + 4 t ’

                  z =  0  -  t +   t ’

                      avec t et t ’ dans IR

            Conclusion : 

                     x =   - 3 t - 3 t’

                     y =  4 +  3t + 4 t ’

                     z =   -  t +   t ’

                      avec t et t ’ dans IR

     --------------------------------------------------------------------------------------

            EXERCICE 2

                          L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O , vect( i ) , vect( j ) , vect( k ) ).

                         Soit le point A ( - 1 / 3 ; - 1 / 3 ; - 1 / 3 ).

                          On considère les plans suivants :

                                             P: x + 2 z + 1  

                                            Q : 2 x + z + 1 = 0    

                                            R : 2 x + y + 1 = 0  

             1.Regardons si les plans P: x + 2 z + 1  et Q : 2 x + z + 1 = 0 sont sécants ou parallèles.

                 Soit le vecteur vect( n ) de coordonnées ( 1 ; 0 ; 2 ).

                 Soit le vecteur vect( n ’ ) de coordonnées ( 2 ; 0 , 1 ).

                 Le vecteur vect( n )  est un vecteur normal à P.( par simple lecture de l’équation)

                 Le vecteur vect( n’ )  est un vecteur normal à Q.

                 Les vecteurs vect( n ) et vect( n’ ) ne sont pas colinéaires.

                 En effet :   

                         Il n’existe pas de réel λ tel que

                             vect( n’ ) = λ vect( n )

                  En raisonnant par l’absurde:

                  Cette égalité vectorielle se traduit par:

                        2 = 1 × λ

                        0 = 0 × λ

                        1 = 2 × λ

            c-à-d      λ = 2  et  λ = 1 / 2            Contradiction

               Il n’existe donc pas un tel réel λ.

             Ainsi la non colinéarité des vecteurs vect( n ) et vect( n ’ ) fait

            que les plans P et Q ne sont pas parallèles.

                 ( Les plans P et Q n’ont pas la même direction )

             Ils sont donc sécants suivant une droite.

             Conclusion : Les plans P et Q sont sécants suivant une droite.

          2.  Trouvons l’intersection des trois plans P, Q , R .

               Considérons pour cela le système :                

                                             x + 2 z + 1 = 0                     L₁

                                            2 x + z + 1 = 0                    L₂

                                            2 x + y + 1 = 0                    L₃

                    c-à-d        en considérant     L₂   ←  L₂   - 2  L₁                                  

                                                x + 2 z + 1  = 0                     L₁

                                                - 3 z - 1 = 0                            L₂

                                            2 x + y + 1 = 0                         L₃             

                      c-à-d     comme   L₂  permet de trouver z puis  L₁ de

                                  trouver x enfin  L₃ de trouver y il est inutile

                                  de transformer davantage  le système

                                     x = - 1 - 2 z

                                     z = - 1 / 3

                                    y = - 1 - 2 x

                       c-à-d   

                                      x =   - 3 / 3 + 2 / 3  =- 1 / 3

                                      z = - 1 / 3

                                     y = - 3 /3 + 2 / 3 = - 1 / 3

                       Ainsi  l’intersection des trois plans est le point A.

      Conclusion:    P ∩ Q ∩ R = { A }  

         3.  Regardons si l’on peut trouver deux réels a et b tels que :

                 vect( w ) = a vect( u ) + b vect( v ).

             Cette égalité s’écrit :

                       - 4 = a × (  - 2 ) + b  × 0

                        3 =    a ×  0    +  b  × ( - 1 )

                         0 =  a ×  3  + b ×  2

                   c-à-d

                            - 4 = - 2 a

                             3 = - b

                             3 a  + 2 b = 0

                  c-à-d

                            a = 2

                           b = - 3

                           6  - 6 = 0   

            Conclusion : Oui.  a = 2 et  b = - 3   

            On  peut  trouver deux réels a et b tels que   

                   vect( w ) = a vect( u ) + b vect( v ).