EXERCICE 1 BAC S 2014 S

                          INFO EXERCICE 1            BAC S             2014

       EXERCICE 1

            Partie A

              1. Montrons que C1 passe par le point A(0;1).

                                  On a :

                                             0 + e - 0 = 1

                                    Donc    f1( 0 ) = 1

                             Conclusion:  La courbe C1 passe par le point A(0;1).

                Donnons le tableau de variation de f1 et ses limites en - ∞ et + ∞.        

                  La fonction f1 est définie et dérivable dans IR comme somme de telles fonctions.

                  Soit x dans IR.

                   On a :     f1 '( x) = 1 - e- x

                      Considérons:   1 - e- x   > 0

                             c-à-d        1 > e- x   

                             c-à-d       ln (1 )  > - x    comme lln est strictement croissante sur ] 0 , + ∞ [

                             c-à-d        0 > - x

                              c-à-d         0 < x

                     Considérons:      1 - e- x   = 0

                            c-à-d            1 = e- x

                            c-à-d            0 = - x 

                             c-à-d           x = 0

                                     Tbbcs

           • + ∞  est une extrémité de l'intervalle de définition.

                On peut faire la recherche de la limite éventuelle de f1 en  + ∞.

                    Soit x > 0.                   f1 ( x) = x + e- x 

                    On a:       lim f1( x)      =    lim x    +    lim eX       =  ( + ∞) + 0  = + ∞

                                    x →   + ∞       x →   + ∞       X →   - ∞

                         Conclusion :     lim f1( x)    =   + ∞

                                                  x →   + ∞  

          • - ∞  est une extrémité de l'intervalle de définition.

                On peut faire la recherche de la limite éventuelle de f1 en  - ∞.

                Soit x < 0.                   f1 ( x) = x + e- x                       

               Factorisons x pour évite la forme indéterminée

                On a:       

                              Fg1     

            Conclusion :           lim f1( x)    =   + ∞

                                       x →   - ∞ 

             Partie B

                   1. a.Interprétation géométrique de l'intégrale In  .

                             La fonction    fn  : x →  x + e - n x               avec n entier naturel

                              est définie  continue et positive sur l'intervalle [0 ; 1 ].

                      Donc

        Conclusion:

    Son intégrale de 0 à 1 notée In est l'aire en u.a. du domaine sous la courbe de f1  sur  [ 0 ; 1].

                      b. Conjecturons le sens de variation de la suite ( In ).

                       Comme il apparaît sur le graphique que l'aire sous la courbe de fn  sur [0 ; 1 ].

                      diminue quand n augmente on peut conjecturer:

                              La  suite ( In ) semble  décroissante sur IN.

           Conjecturons sa limite éventuelle.

                       On a:            fn ( x ) = x + e - n x        pour x ≥ 0     n entier naturel

                     Pour x > 0  fixé      on a      lim e- n x   =  lim eY   = 0

                                                                 n → + ∞     Y  → - ∞

                                                  ainsi      lim fn ( x ) = x

                                                              n → + ∞

                On peut donc considérer pour n entier naturel grand que 

                   sur  ] 0, + ∞ [     fn ( x ) ≈ x

                 De plus             fn ( 0 ) = 0

              Son intégrale de 0 à 1    est assimilable à la moitié d'un carré

              de côté de longueur 1.

                 On peut conjecturer que la suite ( In ) converge vers  0,5.

              2. Démontrons que :

                            Fir1 2

           On a :

                       Fr2

                    Déduisons le signe de   In + 1 - In .

             Fir3

       Montrons que la suite ( In ) converge.

           •  Elle est décroissante sur IN

           • Elle est à termes positifs car c'est la suite des aires sous la courbe de fn sur [ 0 ; 1 ].

               elle est donc minorée par 0 sur IN

                    Conclusion: La suite converge.

       3. Exprimons In en fonction de n  non nul.

            Une primitive de la fonction fn  sur [ 0 ; 1 ]  est:

                    Fn   :  x →  0,5 x2    -  (  1  /  n  ) e - n x   

         Donc :

             Fir2

           Donnons sa limite.

                            Fir5

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