SPE TES

EXERCICE 1 ( 6 points )
Commun à tous les candidats
Dans cet exercice, on munit le plan d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous la courbe d’équation :
y = 1/2 ( e^x + e ^−x− 2 )
Cette courbe est appelée une « chaînette ».
On s’intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points
de cette courbe symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.
On déﬁnit la « largeur » et la « hauteur » de l’arc de chaînette délimité
par les points M et M′ comme indiqué sur le graphique.
Figbac18

Le but de l’exercice est d’étudier les positions possibles sur la courbe.
du point M d’abscisse x strictement positive aﬁn que la largeur de l’arc de
chaînette soit égale à sa hauteur.
1. Justiﬁer que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions

strictement positives de l’équation(E) : e^x+ e^−x− 4 x − 2 = 0.

REPONSE:

La largeur ( x − ( − x ) ) doit être un réel strictement positif.

considérons 2 x > 0

c-à-d x > 0.

On impose :

Qs1bc2018

Conclusion: On a bien justifié le résultat demandé.
2. On note f la fonction déﬁnie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
f (x) = e^x+ e^{− x}− 4x − 2.
a. Vériﬁer que pour tout x > 0,
f (x) = x( e^x/ x − 4 )+ e^{− x}− 2.

REPONSE:

Qs2bc2018

Conclusion: On a bien vérifié l'égalité.
b. Déterminer lim f (x).
x→ + ∞

REPONSE:

Qs3bc2018

Conclusion: La limite demandée a été établie.
3. a. On note f′ , la fonction dérivée de la fonction f . Calculer f′(x),
où x appartient à l’intervalle [0 ; +∞[.

REPONSE:

Qs4bc2018

Conclusion: On a bien trouvé l'expression de la dérivée demandée sur les réels positifs.
b. Montrer que l’équation f ′(x) = 0 équivaut à l’équation :
(e^x)²− 4 e^x− 1 = 0.

REPONSE:

Qs5bc2018

Conclusion: On a bie montré l'équivalence demandée.
c. En posant X = e^x, montrer que l’équation f′(x) = 0 admet pour
unique solution réelle le nombre ln( 2 +√5 ).

REPONSE:

Qs6bc2018

Qs7bc2018

Conclusion: ln( 2 + √5 ) est bien l'unique solution réelle de f'(x) = 0.
4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée f′
de f :

x	0 ln( 2+ √5 ) + ∞
f ′(x)	− 0 +

a. Dresser le tableau de variations de la fonction f .

REPONSE:

Qs8bc2018

Conclusion: Le tableau de variation a été complété.
b. Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique
solution strictement positive que l’on notera α.

REPONSE:

Considérons:

• Sur l'intervalle ] 0 , ln( 2+ √5 ) ] .

Comme f( 0 ) = 0 et f strictement décroissante sur [ 0 , ln( 2+ √5 ) ],

f < 0 sur ]0 , ln( 2+ √5 ) ]

L'équation f (x) = 0 n'y admet donc aucune solution.

• Sur l'intervalle [ 3 , + ∞ [.

f( 3 ) # 6,13 et f est strictement croissante sur cet intervalle.

Donc f > 0 sur cet intervalle .

L'équation f (x) = 0 n'y admet donc aucune solution.

• Sur l'intervalle [ ln( 2+ √5 ) , 3].

f est définie, continue ( puisque dérivable ) et strictement croissante.

De plus f( ln( 2+ √5 ) )× f( 3 ) < 0

Donc, d'après un th. important du cours ( "de la bijection" ),

f (x) = 0 y admet une unique solution.

Conclusion: OUI. Sur les réels strictement positifs, l'équation
f (x) = 0 admet une unique solution α.

5. On considère l’algorithme suivant où les variables a,
b et m sont des nombres réels :

Tant que b − a > 0,1 faire :
m ← ( a +b ) / 2
Si e^m+ e^−m− 4m −2 > 0, alors :
b ←m
Sinon :
a ←m
Fin Si
Fin Tant que

a. Avant l’exécution de cet algorithme, les variables a et b
contiennent respectivement les valeurs 2 et 3.
Que contiennent-elles à la ﬁn de l’exécution
de l’algorithme ?
On justiﬁera la réponse en reproduisant et
en complétant le tableau ci-contre avec les
différentes valeurs prises par les variables, à
chaque étape de l’algorithme.

REPONSE:

Complétons le tableau:

m	a	b	b − a
	2	3	1
2,5	2	2,5	0,5
2,25	2,25	2,5	0,25
2,375	2,375	2,5	0,125
2,4375	2,4375	2,5	0,0625

b − a= 0,0625 ne respecte pas b − a >0,1 donc on ne continue pas.

Conclusion: On obtient a = 2,4375 b = 2,5 à la fin

b. Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en ﬁn d’algorithme à la question

précédente ?

REPONSE:

2,4375 ≤ α ≤ 2,5

Conclusion:

Les valeurs obtenues donnent un encadrement

de la solution strictement positive unique α de f( x ) = 0.

6. La Gateway Arch, édiﬁée dans la ville de Saint-Louis aux
États-Unis, a l’allure ci-contre.
Son proﬁl peut être approché par un arc de chaînette
renversé dont la largeur est égale à la hauteur.
largeur hauteur
La largeur de cet arc, exprimée en mètre, est égale au
double de la solution strictement positivede l’équation :
( E′ ) : e^{( t /39)} + e^{(− t / 39 )}− 4 t / 39 − 2 = 0.
Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.

Arche

REPONSE:

On a :

hauteur de la Gateway Arch = Largeur = 2 t

avec t solution de ( E ' ).

On sait que :

t solution strictement positive de ( E' ) ⇔ ( x = t / 39 et e^x + e^−x− 4 x − 2 = 0 )

c-à-d

t solution strictement positive de ( E' ) ⇔ α = t / 39

c-à-d

t solution strictement positive de ( E' ) ⇔ 39 α = t

Donc : Hauteur = 2 t = 2× 39 α

c-à-d

Hauteur = 78 α mètres

On peut considérer pour plus de précision: 2,4375 ≤ α ≤ 2,45

Donc : 78 × 2,4375 ≤ α ≤ 78 ×2,5

c-à-d

190,125 ≤ hauteur de la Gateway Arch ≤ 195 en mètres

Conclusion: Avec la précision du mètre on a

190 m ≤ hauteur de la Gateway Arch ≤ 195 m

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