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INFO Baccalauréat S Métropole–La Réunion 22 juin 2018

EXERCICE 2 ( 4 points )
Commun à tous les candidats
Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale,
une partie de la population d’une ville.
La vaccination contre la grippe est possible; elle doit être
renouvelée chaque année.

PARTIE A
L’efﬁcacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des

caractéristiques individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin,

qui n’est pas toujours totalement adapté aux souches du virus qui circulent.

Il est donc possible de contracter la grippe tout en étant vacciné.
Une étude menée dans la population
de la ville à l’issue de la période hivernale a permis de constater que :

• 40 % de la population est vaccinée;
• 8 % des personnes vaccinées ont contracté la grippe;
• 20 % de la population a contracté la grippe.

On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les évènements :
on considère les évènements :

V : « la personne est vaccinée contre la grippe »;
G : « la personne a contracté la grippe ».

1. a. Donner la probabilité de l’évènement G.

REPONSE:

En lisant le texte on a la réponse :

"20 % de la population a contracté la grippe."

Conclusion : P(G ) = 20 %

b. Reproduire l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés indiqués sur quatre de
ses branches.

REPONSE:

Faisons l'inventaire des quatre probabilités nécessaires avant.

En lisant le texte on a : " 40% de la population est vaccinée"

Donc : P( V )= 0,4

Ainsi : P ( ) = 1 − 0,4 = 0,6

On lit : " 8 % des personnes vaccinées ont contracté la grippe "

Donc: P_V ( G ) = 0,08

Ainsi: = 1 − 0,08 = 0,92

Arbre partiel :

Arbre bac18 1

2. Déterminer la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée.

REPONSE:

On veut trouver P ( G ∩ V ) .

On a : P ( G ∩ V ) = P( V ) × P_V ( G )

Donc P ( G ∩ V ) = 0,4 × 0,08 = 0,032

Conclusion : P ( G ∩ V ) = 3,2 %

3. La personne choisie n’est pas vaccinée.
Montrer que la probabilité qu’elle ait contracté la grippe est égale à 0,28.

REPONSE:

On cherche la probabilité conditionnelle: ( G )

c-à-d " la probabilitéqu'elle contracte la grippe sachant qu'elle n'est pas vaccinée"

On a : G = ( G ∩ V ) U ( G ∩ )
De plus: ( G ∩ V ) ∩ ( G ∩ ) = ∅ Les deux chemins sont disjoints

Donc: P( G ) = P ( G ∩ V ) + P ( G ∩ )

Comme P( V ) ≠ 0 et P( ) ≠ 0

Il vient P( G ) = P( V ) × P_V ( G ) + P ( )× ( G )

Or on sait : P( G ) = 0,2 P( V ) = 0,4 P_V ( G ) = 0,08 P ( ) = 0,6

Donc : 0,2 = 0,4 × 0,08 + 0,6 ×   ( G )

c-à-d    ( G ) = ( 0,2 − 0,032 ) / 0,6 = 0,28 en isolant le terme   ( G )

Conclusion : ( G ) = 0,28

On a bien le résultat demandé.
PARTIE B
Dans cette partie, les probabilités demandées seront données à 10⁻³près.
Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre
la grippe dans cette ville. Après la période hivernale, on interroge au hasard
n habitants de la ville, en admettant que ce choix se ramène à n tirages successifs
indépendants et avec remise. On suppose que la probabilité qu’unepersonne choisie au hasard
dans la ville soit vaccinée contre la grippe est égale à 0,4.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les n interrogées.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ?

REPONSE:

On repète n fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli dont les issues sont

" vaccinée" de probabilité 0,4 et " non vaccinée".

La variable aléatoire X indique le nombre de " vaccinée" .

Conclusion : X suit la loi binomiale B( n ; 0,4 )

2. Dans cette question, on suppose que n = 40.
a. Déterminer la probabilité qu’exactement 15 des 40 personnes interrogées soient vaccinées.

REPONSE:

On veut: P( X = 15 ) .

• Sur la Casio Graph 35 +

BinominalPD(15,40,0.4) # 0,1228

• Sur la TI 84 Silver Edition

binompdf(40,0.4,15) # 0,1228

Ainsi :

Conclusion : P( X = 15 ) # 0,123 à 10⁻³ près

b. Déterminer la probabilité qu’au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée.

REPONSE:

On intérroge 40 personnes. La moitié est 20.

On veut : P( X ≥ 20 )

On a : P( X ≥ 20 ) = 1 − P( X < 20 ) = 1− P( X ≤ 19 )

Avec la calculatrice:

La Casio Graph 35 + donne pour P( X ≤ 19 )

BinominalCD(19,40,0.4 ) # 0,8702

P( X ≤ 19 ) # 0,8702

Donc P( X ≥ 20 ) # 1 − 0,8702

c-à-d P( X ≥ 20 ) # 0,1298

Conclusion : P( X ≥ 20 ) # 0,13 à 10 ^{− 3} près
La probabilité qu’au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée est 13%.

3. On interroge un échantillon de 3 750 habitants de la ville, c’est-à-dire que l’on suppose ici que
n = 3750.
On note Z la variable aléatoire déﬁnie par : Z = (X −1500 )/30 .
On admet que la loi de probabilité de la variable aléatoire Z peut être approchée par la loi
normale centrée réduite.
En utilisant cette approximation, déterminer la probabilité qu’il y ait entre 1 450 et

1 550 individus vaccinés dans l’échantillon interrogé.

REPONSE:

On veut : P( 1450 ≤ X ≤ 1550)

On considère : Z = ( X − 1500 ) / 30

Z qui est de loi normale centrée réduite N( 0 ; 1 ) approche X.

On a :

P( 1450 ≤ X ≤ 1550) = P( (1450 − 1500 ) / 30 ≤ ( X − 1500 ) / 30 ≤ (1550 − 1500 ) / 30 )

c-à-d

P( 1450 ≤ X ≤ 1550) = P( − 50 / 30 ≤ Z ≤ 50 / 30 )

c-à-d

P( 1450 ≤ X ≤ 1550) = P( − 5/3 ≤ Z ≤ 5 /3 )

Avec la calculatrice :

• Casio Graph 35 +

NormCD( − 5/3, 5/3, 1 , 0 ) # 0,9044

• TI 84 Plus Silver Edition

normalcdf( − 5/3, 5/3, 0 , 1 ) # 0,9044

Ainsi :

Conclusion: P( 1450 ≤ X ≤ 1550) # 0,904

La probabilité qu’il y ait entre 1 450 et

1 550 individus vaccinés dans l’échantillon interrogé est environ 90,4 % .

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