Corrigé bac S 2018 EXERCICE 3

                   INFO              Baccalauréat S         Métropole–La Réunion           22 juin 2018 

   EXERCICE  3     ( 5 points )
                       Commun à tous les candidats
       Le but de cet exercice est d’examiner, dans différents cas, si les hauteurs d’un

       tétraèdre sont concourantes, c’est-à-dire, d’étudier l’existence d’un point

       d’intersection de ses quatre hauteurs.
       On rappelle que dans un tétraèdre MNPQ, la hauteur issue de M est la droite passant

       par M orthogonale au plan (NPQ).

          PARTIE A            Étude de cas particuliers
          On considère un cube ABCDEFGH.
                                                                           

              On admet que les droites (AG), (BH), (CE) et (DF), appelées « grandes diagonales »
              du cube, sont concourantes.
     1. On considère le tétraèdre ABCE.
         a. Préciser la hauteur issue de E et la hauteur issue de C dans ce tétraèdre.

            REPONSE:

        •   ( EA) est une arête du cube , orthogonale à la face contenant les points ABC.

              Donc ( EA ) est orthogonale à la plan ( ABC)

           Conclusion: La hauteur issue de E dans ce tétraèdre est ( EA).

         •   ( CB ) est une arête du cube , orthogonale à la face contenant les points ABE.

                Donc ( CB ) est orthogonale à la plan ( ABE).

                Conclusion: La hauteur issue de C dans ce tét raèdre est ( CB).

             b. Les quatre hauteurs du tétraèdre ABCE sont-elles concourantes ?

                  REPONSE:

               NON. 

              En effet:

             Déjà les hauteurs ( EA ) et ( CB) précédentes sont dans deux plans strictement parallèles,

               celui de la face ADHE du cube , celui de la face  BCGF du cube respectivement.

             Elles ne peuvent donc être concourantes

              Conclusion : NON

                       
     2. On considère le tétraèdre ACHF et on travaille dans le repère
        
           a. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ACH) est : x − y + z = 0.

                    REPONSE:

            Le plan ( ACH ) existe car les sommets A , C et H d'un cube ne sont pas alignés

            Il suffit de montrer  que les points A,C et H ont des coordonnées qui vérifient cette équation.

            On a :

            • A est dans le plan ( ACH) car 0 −  0 + 0 = 0  

      (  Le terme constant de x − y + z = 0 étant nul c'est une équation d'un plan passant par l'origine A. )

            • C est dans le plan ( ACH)  car 1 −  1 + 0 = 0

            •H est dans le plan ( ACH)  car 0 − 1 + 1 = 0

             Conclusion : Le plan ( ACH) admet comme équation   x − y + z = 0.
           b. En déduire que (FD) est la hauteur issue de F du tétraèdre ACHF.

            REPONSE:    

                F(  1 , 0 , 1)   D( 0 ; 1 ; 0 )

             Un vecteur normal possible au plan ( ACH ) :  x − y + z = 0  a pour coordonnées

                ( 1 ;  −  1 ; 1 ) par simple lecture des coefficients devant x , y , z.

             Calculons les coordonnées du vecteur reliant F à D.

            ses coordonnées sont : ( − 1   ; 1   ;  − 1  ).

             Regardons si ces deux vecteurs sont colinéaires.

             OUI car  ces deux vecteurs sont opposés.  

            Ainsi, la droite ( FD) est bien orthogonale à la face ( ACH ) du tétraèdre ACHF.

             Conclusion:  (FD) est la hauteur issue de F du tétraèdre ACHF                  
           c. Par analogie avec le résultat précédent, préciser les hauteurs du tétraèdre ACHF issues
                respectivement des sommets A, C et H.
               Les quatre hauteurs du tétraèdre ACHF sont-elles concourantes ?

            REPONSE:

             Par analogie citons les hauteurs demandées.

            ( AG) hauteur issue de A.

            (CE) hauteur issue de C.

            ( HB ) hauteur issue de H.

         Ce sont trois des diagonales du cube ABCDEFGH.

           L'autre étant ( FH ) qu' a déjà considérée.

         Donc:

              Conclusion : elles se coupent en un point K , centre du cube ,
             point d'intersection des diagonales du cube ABCDEFGH.

       Dans la suite de cet exercice, un tétraèdre dont les quatre hauteurs sont concourantes sera appelé un
        tétraèdre orthocentrique.

          PARTIE  B     Une propriété des tétraèdres orthocentriques

            Dans cette partie, on considère un tétraèdre MNPQ dont les hauteurs issues des sommets M et N sont
            sécantes en un point K. Les droites (MK) et (NK) sont donc orthogonales aux plans (NPQ) et (MPQ)
            respectivement.
                                               

                1. a. Justifier que la droite (PQ) est orthogonale à la droite (MK); on admet de même que les
                         droites (PQ) et (NK) sont orthogonales.

                     REPONSE:

              La droite ( PQ ) est dans le plan ( N PQ ).

               La droite ( MK ) est orthogonale au plan ( NPQ ). (  indiqué dans le texte de l'énoncé.)

              Ainsi la droite (MK ) est orthogonale aux droites du plan ( NPQ ) , en particulier à la droite  ( PQ ). 

             Conclusion: la droite ( PQ ) est orthogonale à la droite ( MK ).

                    b. Que peut-on déduire de la question précédente relativement à la droite (PQ) et au plan
                         (MNK) ? Justifier la réponse.

                    REPONSE:

             On a montré que la droite ( PQ ) était orthogonale à la droite ( MK )

            On admet de même, d'après le texte de l'énoncé , que les  droites (PQ) et (NK) sont orthogonales.

            Donc la droite ( PQ ) est orthogonales à deux droitessécantes  ( MK ) et ( NK ) du plan ( MNK ).

          Ainsi la droite ( PQ ) est ortogonale au plan lui même ( MNK )

               Conclusion: La droite ( PQ ) est ortogonale au plan ( MNK ).
                2. Montrer que les arêtes [MN] et [PQ] sont orthogonales.
                    Ainsi, on obtient la propriété suivante :
                    Si un tétraèdre est orthocentrique, alors ses arêtes opposées sont orthogonales deux à deux.
                    (On dit que deux arêtes d’un tétraèdre sont « opposées » lorsqu’elles n’ont pas de sommet commun.)

                   REPONSE:

              Comme la droite ( PQ ) est orhtogonale au plan  ( MNK ),  la droite ( PQ ) est

              orthogonales aux droite du plan ( MNK) , en particulier à la droite ( MN ).

             Conclusion : Les arêtes [ PQ] et [ MN ] sont orthogonales.

         PARTIE  C                  Application
                Dans un repère orthonormé, on considère les points :
                              R (− 3 ; 5 ; 2)          ,  S(1 ; 4 ; − 2)

                               T( 4 ; − 1 ; 5)       ,     U( 4 ; 7 ; 3).
                 Le tétraèdre RSTU est-il orthocentrique ? Justifier.

              REPONSE:

           Une condition nécessaire( mais insuffisante ) est, d'après l'énoncé, que ses 

           arêtes opposées soient orthogonales.

           Commençons par voir si les arêtes opposées ( TR ) et ( SU ) sont orthogonales.

        • Les coordonnées du vecteur joignant T à R sont :

          ( − 7  ; 6  ; − 3 )

       • Les coordonnées du vecteur joignant S à U sont :

              ( 3 ; 3   ;5 )

       Le produit scalaire de ces deux vecteurs est:

               − 7×  3  + 6 × 3 + (− 3 ) × 5 = − 21 + 18 − 15= − 18

             Il n'est pas nul.

           On n'a pas la condition nécessaire.

      Conclusion : NON. 

               Le tétraèdre RSTU n'est pas orthocentrique.        

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