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INFO Baccalauréat S Métropole–La Réunion 22 juin 2018

EXERCICE 4 ( 5 points )
Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct
.
On pose z₀ = 8 et, pour tout entier naturel n :
z_{n + 1} = ( ( 3 − i √3) / 4 ) z_n

On note A_n le point du plan d’afﬁxe z_n.
1. a. Vériﬁer que :
( 3 − i √3 ) / 4 = ( √3 / 2 ) e^{− i π / 6} .

REPONSE:

On a :

Sd1bc2018 3

Conclusion: On a bien l'égalité.
b. En déduire l’écriture de chacun des nombres complexes z₁, z₂ et z₃sous forme exponentielle

et vériﬁer que z₃est un imaginaire pur dont on précisera la partie imaginaire.

REPONSE:

On a :

z_{n + 1} = ( √3 / 2 ) e^{− i π / 6} z_n
Donc :

• z₁ = ( √3 / 2 ) e^{− i π / 6} z₀

Mais z₀ = 8

Donc : z₁ = 8( √3 / 2 ) e^{− i π / 6}

c-à-d z₁ = 4√3 e^{− i π / 6}

• z₂ = ( √3 / 2 ) e^{− i π / 6} z₁

c-à-d

z₂ = ( √3 / 2 ) e^{− i π / 6} 4√3 e^{− i π / 6}

c-à-d

z₂ = 6 e^{− 2 i π / 6}

Donc : z₂ = 6 e^{− i π / 3}

• z₃ = ( √3 / 2 ) e^{− i π / 6} z₂

c-à-d

z₃ = ( √3 / 2 ) e^{− i π / 6} 6 e^{− 2 i π / 6}

c-à-d z₃ = 3√3 e^{− i π / 6} e^{− 2 i π / 6}

c-à-d z₃ = 3√3 e^{− 3 i π / 6}

c-à-d z₃ = 3√3 e^{− i π / 2}

Mais e^{− i π / 2} = − i

^d'où z₃ = − 3√3 i

z₃ est un imaginaire pur.

Sa partie imaginaire est − 3√3

c. Représenter graphiquement les points A₀ , A₁ , A₂ et A₃ ; on prendra pour unité le centimètre.

REPONSE:

Gr1bc2018

( A_n+1est l'image de A_npar la similitude directe de centre l'origine , de rapport √3 /2

et d'angle − π / 6 )
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
z_n= 8 × ( √3 / 2 )ⁿe^{− i n π / 6}
REPONSE:

Gr2bc2018

Gr3bc2018

Gr4bc2018

Conclusion : La démonstration par récurrence est faite.

b. Pour tout entier naturel n, on pose u_n = |z_n|.
Déterminer la nature et la limite de la suite (u_n).

REPONSE:

Gr5bc2018
3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel k,
( z_{k + 1} − z_k ) / z_{k + 1}= − ( 1/ √3 ) i.
En déduire que, pour tout entier naturel k, on a l’égalité :
A_k A_k+1 = (1 / √3 ) OA_k+1.

REPONSE:

• Soit n un entier naturel quelconque.

Gr7bc2018 1

Conclusion: ( z_{k + 1} − z_k ) / z_{k + 1}= − ( 1/ √3 ) i pour tout entier naturel k.

• ( z_{k + 1} − z_k ) / z_{k + 1}= − ( 1/ √3 ) i

donne en prenant les modules des deux membres:

| z_{k + 1} − z_k | / |z_{k + 1}| = | − ( 1/ √3 ) i|

c-à-d

A_k A_k+1 / OA_k+1 = 1/ √3

_{D'où on obtient:} A_k A_k+1 = (1 / √3 ) OA_k+1
b. Pour tout entier naturel n, on appelle ℓ_n la longueur de la ligne brisée reliant dans cet
ordre les points A₀, A₁, A₂, ..., A_n.
On a ainsi : ℓ_n = A₀A₁ + A₁A₂ +...+ A_n−1A_n.
Démontrer que la suite (ℓ_n) est convergente et calculer sa limite.

REPONSE:

Pour tout entier naturel n,

ℓ_n = A₀A₁ + A₁A₂ +...+ A_n−1A_n

Or A_k A_k+1 = ( 1/ √3 ) OA_k+1 pour tout entier naturel k

Donc : ℓ_n = ( 1/ √3 ) OA₁+ ( 1/ √3 ) OA₂+ ...... + ( 1/ √3 ) OA_n

c-à-d

ℓ_n = ( 1/ √3 ) ( OA₁+ OA₂+ .............+ OA_n)

c-à-d

ℓ_n = ( 1/ √3 ) ( u₁ + u₂ + .... + u_n )

La suite ( u_n ) est géométrique de raison autre que 1.

Ainsi :

Grabc2018 1

Conclusion: La suite ( ℓ_n ) converge.

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