SPE TES

PARTIE A
On considère l’équation suivante dont les inconnues x et y sont des entiers naturels :
x²− 8 y²= 1 (E)
1. Déterminer un couple solution (x ; y) où x et y sont deux entiers naturels.

REPONSE:

Il est clair que: 1² − 8 × 0² = 1 − 0 = 1

Conclusion: Le couple ( 1 ; 0 ) est un couple d'entiers naturels qui vérifie ( E ).

2. On considère la matrice
Matbac18
On déﬁnit les suites d’entiers naturels (x_n) et ( y_n ) par :
x₀ = 1, y₀ = 0, et pour tout entier naturel n,
Egabac18
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le couple ( x_n ; y_n)
est solution de l’équation (E).

REPONSE:

Faisons une récurrence sur IN.

• n = 0

On vient de voir que le couple ( 1 ; 0 ) d'entiers positifs était une solution de ( E).

Or x₀ = 1 et y₀ = 0

Donc: ( x₀ , y₀ ) est bien une solution de ( E).

C'est donc vrai à l'ordre 0.

• Soit n un entier naturel quelconque.

Montrons que si le couple (x_n, y_n ) est une solution de ( E ) alors ( x_{n + 1}, y_{n + 1} )

est une solution de ( E ).

Considérons : ( x_n ) ² − 8 ( y_n )² = 1

Les égalités,

Egabac18 et Matbac18

se traduit aussitôt par : x_{n + 1}= 3 x_n + 8 y_n

y_{n + 1} = x_n + 3 y_n

Elevons au carré chaque membre puis développons:

Ainsi : 1 × | ( x_{n + 1} ) ² = 9 ( x_n ) ² + 64 ( y_n )² + 48 y_n

− 8 × | ( y_{n + 1} ) ² = ( x_n ) ² + 9 ( y_n)²+ 6 y_n
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En sommant et réduisant il vient : ( x_{n + 1} ) ² − 8 ( y_{n + 1} ) ² = ( x_n ) ² − 8 ( y_n )²

Mais ( x_n ) ² − 8 ( y_n ) ² = 1

Donc ( x_{n + 1} ) ² − 8 ( y_{n + 1} ) ² = 1

Conclusion: Pour tout entier nature n , le couple (x_n, y_n ) est soution de ( E)

b. En admettant que la suite (x_n) est à valeurs strictement positives, démontrer que pour
tout entier naturel n, on a : x_n+1 > x_n.

REPONSE: On admet que pour tout entier naturel n, x_n > 0 et y_n≥ 0

Soit n un entier naturel quelconque:

On a vu que : x_n+1 = 3 x_n + 8 y_n
Donc : x_n+1 − x_n = 2 x_n + 8 y_n= 2 ( x_n + 4 y_n )

Or x_n > 0 et 4 y_n≥ 0 impliquent x_n + 4 y_n > 0

D'où 2 ( x_n + 4 y_n ) > 0

c-à-d x_n+1 − x_n > 0

Conclusion : pour tout entier naturel n, x_n+1 > x_n

en admettant que pour tout entier naturel n, x_n > 0

3. En déduire que l’équation (E) admet une inﬁnité de couples solutions.

REPONSE:

On est assuré à présent que: x_n+1 ≠ x_n pour tout entier naturel n.

Donc, pour tout entier naturel n , les couples soutions de ( E ), (x_n, y_n ) et ( x_{n + 1}, y_{n + 1} )

sont différents . En effet ils diffèrent déjà par le premier terme.

de plus il y en a autant que dans IN.

Conclusion:

( E ) admet une infinité de couples solutions
PARTIE B
Un entier naturel n est appelé un nombre puissant lorsque, pour tout diviseur premier p de n,
p² divise n.
1. Vériﬁer qu’il existe deux nombres entiers consécutifs inférieurs à 10 qui sont puissants.
L’objectif de cette partie est de démontrer, à l’aide des résultats de la partie A, qu’il existe une inﬁnité
de couples de nombres entiers naturels consécutifs puissants et d’en trouver quelques exemples.

REPONSE:

Il suffit d'en préciser deux ici.

Considérons:

• n = 8

On a : 8 = 2² ×2 = 4 ×2

Le seul nombre premier qui divise 8 est p = 2

p² = 4

On a : 4 | 8

Donc p² | n

Donc

8 est est un entier naturel puissant inférieur à 10

• n = 9

On a : 9 = 3²

Le seul nombre premier qui divise 9 est p = 3

p² = 9

On a : 9 | 9

Donc p² | n

Donc 9 est est un entier naturel puissant inférieur à 10

De plus 8 et 9 sont consécutifs.

Conclusion : On bien trouvé deux entiers naturels inférieurs à 10 et consécutifs.
2. Soient a et b deux entiers naturels.
Montrer que l’entier naturel n = a²b³est un nombre puissant.

REPONSE:

Considérons n = a²b³ avec a et b dans IN

n est bien un entier naturel.

Soit p un nombre premier qui divise n.

Comme n = a × a × b × b × b on a p qui divise a ou b.

• Si p | a alors p² | a²donc p² | a²b³ c-à-d p² | n

• Si p |b alors p² | b²donc p² | a²× b×b² c-à-d p² | n

Ainsi :

Conclusion: L'entier naturel n = a²b³ est bien un entier naturel puissant.

3. Montrer que si (x ; y) est un couple solution de l’équation (E) déﬁnie dans la partie A, alors
x² − 1 et x²sont des entiers consécutifs puissants.

REPONSE:

Soit (x ; y) est un couple solution de l’équation (E).

Ainsi x et y sont des entiers naturels.

On a : x² − 8 y² = 1

c-à-d x² − 1 = 8 y²

Comme y est un entier naturel , 8 y² est un entier naturel

Ainsi : x² − 1 qui est un entier naturel

• ( x² − 1 ) + 1 = x²

Donc, x² − 1 et x² sont deux entiers naturels consécutifs.

• Montrons que x² − 1 est puissant .

x² − 1 = 8 y² = y² 2³

Or y² 2³ est de la forme a² b³rencontrée dans la question précédente

où on a montré qu'il s"agissait d'un entier puissant.

Donc x² − 1 est puissant.

• Montrons que x² est puissant.

x² est un entier naturel comme produit d'entiers naturels.

x² = x × x

Tout nombre premier p qui divise x² doit diviser x.

Si p | x alors p² | x² ( Rappel : | veut dire divise )

Donc x² est puissant.
Conclusion :

Si (x ; y) est un couple solution de l’équation (E) , alors
x² − 1 et x²sont des entiers consécutifs puissants.

4. Conclure quant à l’objectif ﬁxé pour cette partie, en démontrant qu’il existe une inﬁnité de
couples de nombres entiers consécutifs puissants.
Déterminer deux nombres entiers consécutifs puissants supérieurs à 2018.

•Infinité.

REPONSE:

On a vu ( Partie A question 3) que la suite de couples ( x_n , y_n ) définie sur IN constituait une infinités

de solutions de ( E ).

On a vu ( Partie B question 3 ) que tout couple d'entiers naturels ( x , y ) solution de ( E) est tel que

x²−1 et x²sont des entiers naturels puissants.

Ainsi:

Conclusion : les couples ( x_n²−1 , x_n²) constituent une infinité d'entiers naturels consécutifs puissants.

•Recherche d'un couple d'entiers naturels puissants consécutif supérieurs à 2018.

REPONSE:

On va rechercher un couple d'entiers naturels ( x² − 1 , x²) tels que :

x²− 1 > 2018 et x² > 2018 c-à-d x² > 2019

tel que ( x , y ) solution de ( E ) c-à-d x² − 8 y² = 1.

L'idée pour cela consiste à:

• Considérer l'équation diophantiènne : u− 8 v = 1 ( ça revient à poser que x² = u et y² = v )

• Puis en donner d'abord la forme de ses couples solutions( u , v ) d'entiers naturels.

Ils sont de la forme: ( − 7 + 8 X , − 1 + X ) avec X dans IN*.

En effet:

u− 8 v = 1 ⇔ u− 8 v = 1 et − 7 − 8 ( − 1 ) = 1

c-à-d u− 8 v = 1 ⇔ u− 8 v = 1 et ( u+ 7 )− 8 ( v + 1 ) = 0 par différence

c-à-d u− 8 v = 1 ⇔ u− 8 v = 1 et u+ 7 = 8 ( v + 1 )

c-à-d u− 8 v = 1 ⇔ u− 8 v = 1 et 8 | u+ 7 et u+ 7 = 8 ( v + 1 )

c-à-d u− 8 v = 1 ⇔ u− 8 v = 1 et il existe X dans Z / u+ 7 = 8 X et 8 X = 8 ( v + 1 )

c-à-d u− 8 v = 1 ⇔ u− 8 v = 1 et il existe X dans Z / u = − 7 + 8 X et X = v + 1

c-à-d u− 8 v = 1 ⇔ il existe X dans Z / u = − 7 + 8 X et v =− 1 + X

Comme u et v doivent être dans IN on considère X dans IN

• Ensuite à rechercher parmi eux , à l'aide de la table calculatrice,

le plus petit couple ( u , v ), tel que √u dans IN* et √v dans IN et u > 2019.

Il suffit de prendre dans la table une colonne pour X ( à partir de 45 ) , une colonne pour

√( − 7 + 8 X ) , une colonne pour √( − 1 + X ).

On augmente de 1 en 1 les entiers X jusquà avoir une ligne horizontale d'entiers naturels.

X= 1226 ; x= 99 ; y= 35

On met: Y1 = √(−7 +8 X ) Y2 = √(− 1 + X )

X	Y1	Y2	Y3
45	18,788	6,6332
......
1226	99	35

• On prendra alors le couple ( x², x² − 1 ) comme couple répondant à notre problème.

On obtient u = x²= 99²= 9801 et x² − 1 = 9800

Pour le couple ( x , y ) on trouve ( 99 , 35 ). Le y ne sert plus à rien.

On devait simplement s'assurer que ce soit un entier naturel

Ainsi on considère le couple ( 9801 , 9800 ) qui est de la forme (x² , x² − 1 )

C'est un couple d'entiers naturels consécutifs puissants.

Vérification : 99² >2018 et 99²− 1 > 2018

99² = 9801 = 3⁴ × 11²

Les seuls nombres premiers qui divisent l'entier naturel 9801 sont 3 et 11.

Or 3² et 11² divisent aussi 9801

9801 est bien puissant

Vérification : 99² − 1 = 9800 = 2³× 5² ×7²

Les seuls nombres premiers qui divisent l'entier naturel 9800 sont 2, 5 et 7.

Or 2² et 5² et 7² divisent aussi 9800

9800 est bien puissant

Vérification: 99²− 8 × 35² = 1

Conclusion : Le couple ( 9801 ; 9800 ) répond au problème.

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