SPE TES

   EXERCICE 1    7 points
Commun à tous les candidats
Partie A
On considère la fonction h déﬁnie sur l’intervalle [ 0;+ ∞ [ par : h(x) = x e^{− x}.
1. Déterminer la limite de la fonction h en + ∞.
2. Étudier les variations de la fonction h sur l’intervalle [ 0 ; + ∞ [ et dresser son
tableau de variations.
3. L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction h.
a. Vériﬁer que pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; + ∞ [,
on a :
h(x) = e^−x− h'(x)   où h' désigne la fonction dérivée de h.
b. Déterminer une primitive sur l’intervalle [ 0 ; + ∞ [ de la fonction
x → e^−x
  c. Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction h
sur l’intervalle [ 0 ; + ∞ [.
Partie B
On déﬁnit les fonctions f et g sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
f (x) = x e^{− x}+ ln(x +1) et g (x) = ln(x +1).
On note C_f et C_g les représentations graphiques respectives
des fonctions f et g dans un repère orthonormé.
Ces deux courbes sont tracées en annexe page 7.
Cette annexe est à rendre avec la copie.
1. Pour un nombre réel x appartenant à l’intervalle [ 0 ; + ∞ [,
on appelle M le point de coordonnées (x ; f (x)) et N le
point de coordonnées (x ; g (x)) : M et N sont donc les points
d’abscisse x appartenant respectivement aux courbesC_fet C_g .
a. Déterminer la valeur de x pour laquelle la distance MN est
maximale et donner cette distance maximale.
b. Placer sur le graphique fourni en annexe page 7 les points M
et N correspondant à la valeur maximale de MN.

2. Soit λ un réel appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[. On note D_λ
le domaine du plan délimité par les courbes C_f et C_g et par les
droites d’équations x = 0 et x = λ.
a. Hachurer le domaine D_λ. correspondant à la valeur λ proposée sur le
graphique en annexe page 7.
b. On note A_λ. l’aire du domaine D_λ, exprimée en unités d’aire.
Démontrer que :
A_λ = 1− (λ+1)/ e^λ .
c. Calculer la limite de A_λ lorsque λ tend vers + ∞ et interpréter le résultat.
3. On considère l’algorithme suivant :

Variables :
λ est un réel positif
S est un réel strictement compris entre 0 et 1.
Initialisation :
Saisir S
λ prend la valeur 0
Traitement :
Tant Que 1− (λ+1) / e^λ< S faire
λ prend la valeur λ+1
Fin Tant Que
Sortie :
Afﬁcher λ

a. Quelle valeur afﬁche cet algorithme si on saisit la valeur S = 0,8 ?
b. Quel est le rôle de cet algorithme ?

17MASSMLR1 page 2-3

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