SPE TES

EXERCICE 1 ( 6 points )
Commun à tous les candidats
Dans cet exercice, on munit le plan d’un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous la courbe d’équation :
y = 1/2 ( e^x + e ^−x−2 )
Cette courbe est appelée une « chaînette ».
On s’intéresse ici aux « arcs de chaînette » délimités par deux points
de cette courbe symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.
On déﬁnit la « largeur » et la « hauteur » de l’arc de chaînette délimité
par les points M et M′ comme indiqué sur le graphique.
Figbac18

Le but de l’exercice est d’étudier les positions possibles sur la courbe.
du point M d’abscisse x strictement positive aﬁn que la largeur de l’arc de
chaînette soit égale à sa hauteur.
1. Justiﬁer que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions

strictement positives de l’équation(E) : e^x+ e^−x− 4 x − 2 = 0.
2. On note f la fonction déﬁnie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
f (x) = e^x+ e^{− x}− 4x − 2.
a. Vériﬁer que pour tout x > 0,
f (x) = x( e^x/ x − 4 )+ e^−x−2.
b. Déterminer lim f (x).
x→ + ∞
3. a. On note f′ , la fonction dérivée de la fonction f . Calculer f′(x),
où x appartient à l’intervalle [0 ; +∞[.
b. Montrer que l’équation f ′(x) = 0 équivaut à l’équation :
(e^x)²− 4 e^x−1 = 0.
c. En posant X = e^x, montrer que l’équation f′(x) = 0 admet pour
unique solution réelle le nombre ln( 2 +√5 ).
4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée f′
de f :

x	0 ln( 2+ √5 ) + ∞
f ′(x)	− 0 +

a. Dresser le tableau de variations de la fonction f .
b. Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique
solution strictement positive que l’on notera α.
5. On considère l’algorithme suivant où les variables a,
b et m sont des nombres réels :

Tant que b − a > 0,1 faire :
m ← ( a +b ) / 2
Si e^m+ e^−m− 4m −2 > 0, alors :
b ←m
Sinon :
a ←m
Fin Si
Fin Tant que

a. Avant l’exécution de cet algorithme, les variables a et b
contiennent respectivement les valeurs 2 et 3.
Que contiennent-elles à la ﬁn de l’exécution
de l’algorithme ?
On justiﬁera la réponse en reproduisant et
en complétant le tableau ci-contre avec les
différentes valeurs prises par les variables, à
chaque étape de l’algorithme.
b. Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en ﬁn d’algorithme
à la question précédente ?

m	a	b	b − a
	2	3	1
2,5
...	...	...

6. La Gateway Arch, édiﬁée dans la ville de Saint-Louis aux
États-Unis, a l’allure ci-contre.

Arche
Son proﬁl peut être approché par un arc de chaînette
renversé dont la largeur est égale à la hauteur.
largeur hauteur
La largeur de cet arc, exprimée en mètre, est égale au
double de la solution strictement positivede l’équation :
( E′ ) : e^{( t /39)} + e^{(− t / 39 )}− 4 t / 39 − 2 = 0.
Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.

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