SPE TES

Partie A
On considère la fonction f déﬁnie sur l’ensemble IR des nombres réels par :
f (x) = 7 / 2 − 0,5 ( e ^x + e^{− x} ) où x dans IR
1. a. Donnons la limite de la fonction f en + ∞.

On a : lim e ^x = +∞ et lim e ⁻^x = lim e ^X= 0 , en posant X = − x

x → +∞ x → + ∞ X → − ∞

Donc lim ( 7 / 2 − 0,5 ( e ^x + e^{− x} ) ) = − ∞
x→ + ∞
d'après la limite d'une somme et un produit.

Conclusion: lim f (x) = − ∞

x→ + ∞
b. Montrons que f est décroissante strictement sur l'intervalle [ 0 ,+ ∞ [

f est définie et dérivable sur IR donc l'intervalle [ 0 ,+ ∞ [ comme somme et composées

de fonctions définies et dérivables sur l'intervalle IR.

Pour tout nombre réel x , f ' (x) = − 1 / 2 ( e ^x − e^{− x} )

• f '( 0 ) = 0 car e⁰ − e^{− 0}= 1 − 1 = 0

. • Soit x > 0 alors on a − x < 0

Comme exp est strictement croissante sur l'ensemble des nombres réels.

e ^x > e^{− x} c-à-d e ^x − e^{− x} > 0 donc − 1 / 2 ( e ^x − e^{− x} ) < 0

c-à-d f ' ( x ) < 0 pour tout x > 0

Conclusion : f est décroissante strictement sur l'intervalle [ 0 ,+ ∞ [.

c. Montrons que l'équation f( x ) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [0 ; +∞[.

• f est continue sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [ car elle y est dérivable.

• f (0) = 5 / 2

• f est strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; + ∞ [

• lim f( x ) = − ∞
x→ + ∞
• 0 est dans l'intervalle ] − ∞ , 5 / 2 ]

D’après le " théorème généralisé de la bijection", ( même s'il n'est plus prononcé dans le programme )

l’équation f (x) = 0 admet une unique une solution sur [ 0 , + ∞ [

Notons la α.

Conclusion : Le résultat est avéré.
2. Montrons que l'équation f( x ) = 0 admet exactement deux solutions dans IR.

Déjà montrons que f est paire.

• f est définie sur l'intervalle ]−∞ ,+ ∞ [ qui est symétrique par rapport à 0.

• Pour tout x ∈ R, f(− x ) = f( x )

En effet: f(− x ) = 7 / 2 − 0,5 ( e^−x + e ^{− ( − x )})

c-à-d f(− x ) = 7 / 2 − 0,5 ( e^−x + e ^x ) = f( x )

f est bien paire.

♦Existence de deux solutions pour f( x ) = 0 .

On a vu que : f( α ) = 0 et α ∈ [ 0 ,+ ∞ [

Mais α ≠ 0 car f( 0 ) = 7 /2 non nul

Donc α > 0 et α ≠ − α

Ainsi − α < 0

Or f( − α ) = f( α ) = 0

Ainsi α et − α sont deux solutions distinctes opposées

de l'équation f( x ) = 0

♦ Exactement deux solutions pour f( x ) = 0.

La fonction paire f est, d'abord, strictement croissante sur ] − ∞ , 0 ],

puis strictement décroissante sur [ 0 ,+ ∞ [.

Elle ne peut s'anuler qu'une seule fois sur chacun de ces intervalles.

Conclusion : L'équation f ( x ) = 0 admet exactement deux solutions opposées sur IR.

α et − α

Partie B

Ex1 fin 1

Ex1 clos 1

1. Calculons la hauteur de l'arceau.

Elle correspond à f( 0), le maximum de f .

Or f( 0 ) = 5/2

Conclusion : La hauteur d'un arceau est de 2,5 m

2. a . Montrons que 1 + f ′(x)²= 1/4 (e^x+ e^−x)² pour tout x ∈ R

Pour tout x ∈ R,

1 + f ′(x)²= 1 + 1/4 (e^x− e^−x)² = 1 + ( 1 / 4 ) ( e^2x− 2 + e ^−2x)

c-à-d 1 + f ′(x)²= 1 − 2 /4 + ( e^2x+ e ^−2x) /4 = 1/2 + ( e^2x+ e ^−2x) /4

De plus 1/4 (e^x+ e^−x)² = ( e^2x+ 2 + e ^−2x) /4 = ( e^2x+ e ^−2x) /4 + 2 / 4

c-à-d 1/4 (e^x+ e^−x)² = ( e^2x+ e ^−2x) /4 + 1/ 2

Conclusion : L'égalité est avérée sur IR

• Déduisons la valeur de l'intégrale I en fonction α

On a vu que : 1 +( f ' ( x ) )² = ( 1/4) (e^x+ e^−x)²

Donc: √ ( 1 +( f ' ( x ) )² ) = √ ( ( 1/4) (e^x+ e^−x)² ) = (1/2) (e^x+ e^−x)

( la fonction exp étant positive )

Prenons G : x → 0,5 ( e^x− e^−x ) comme primitive de la fonction

x → 0,5 (e^x+ e^−x) sur l'intervalle des nombres réels.

On a alors : I = G(α)−G(0)

Mais G(0) = 0

Donc :

Conclusion : I = 0,5 (e^α− e^−α)

• Justifions que la longueur d'un arceau , en mètre, est égale à e^α− e^−α.

Comme la fonction f est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l’axe (Oy)

La longueur de la courbe f sur l'intervalle [ − α , α ] est donc le double de la longueur

de la courbe de f sur l'intervalle [ 0 ,α ]
,
Donc , la longueur d'un arceau est le double de l'intégrale I .

Conclusion : La longueur d'un arceau est bien , en m , e^α− e^−α

Ex1 terme

Partie C

1. Montrons que la surface de bâche , en m² , nécessaire pour les faces sud et nord

est A = 4 ∫₀^αf (x) dx − 2 .

Déjà on remarque , que chacune des deux façades Nord et Sud, sans considérer la porte

, a une aire égale à
∫_−α^α f (x) dx = 2 ∫₀^α f (x) dx en unités d'aire

C'est l'aire sous la courbe de de la fonction positive et continue f sur l'intervalle [ − α , α ].
L’aire de l’ouverture de la porte vaut 2 m², donc l'aire de la bâche nécéssaire

pour recouvrir, seulement, les façades sud et nord est , en m² :
A = 2 × 2 ∫₀^α f( x ) dx − 2 = 4 ∫₀^αf (x) dx − 2

Conclusion : L'aire de bâche pour les deux façades est bien en m²: A = A = 4 ∫₀^αf (x) dx − 2 .

• Par définition :    f (x) = ( 7 / 2 ) − ( e^x + e^−x ) /2 pour tout x ∈ R
.
  Une primitive F possible de f est    F: x → ( 7 / 2) x − ( e^x− e^−x) /2
.
  Alors:   A = 4 [ F(x) ]₀^α − 2 = 4 [ F(α) − F(0) ] − 2
On a :          F(α) = ( 7/2) α − (e^α− e^−α ) / 2
   et F(0) = 0
  Donc :      A = 4( ( 7/2) α − (e^α− e^−α ) /2 )  − 2

c-à-d A = 14 α − 2 (e^α− e^−α ) − 2

• L’aire de la bâche latérale est celle d’un rectangle, de longueur

3× 1,50 = 4,5 m et de largeur (e^α− e^−α )
Donc, cette aire latérale vaut: 4,5 (e^α− e^−α )

Considérons: A + 4,5 (e^α− e^−α ) pour l'aire totale de la bâche en m².
.
L’aire totale de la bâche plastique nécessaire est en m² :
14 α − 2 (e^α−e^−α) − 2 + 4,5 (e^α− e^−α ) = 14 α + 2,5 (e^α− e^−α ) − 2

Pour α ≈ 1,92
On obtient : 41,5659 m² environ

Conclusion : On a 41,57 m² environ

Pour la précision demandée 1 m² ,on peut prendre 42 m² :
.---------------------------------------------------------------------------------

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