EX2 Oblig. Juin 2019 INFO

               INFO                  EX 2   Obligatoire             BAC S   Juin 2019

        Partie A

       1. a.Donnons la durée moyenne  d'une partie de type A

               X_A est de loi uniforme sur [ 9 , 25 ].

                Donc: E(   X_A  ) = ( 9 + 25 ) / 2 = 24 / 2 = 12

              Conclusion: La moyenne( c-à-d l'espérance) est 12   en minutes

          b.  Donnons à l'aide du graphique la duréee moyenne de X_B .             

               X_B est de loi normale N (µ ; 3 ).

            L'axe de symétrie de de la courbe de la fonction densité de probabilité est d'équation x = 17.

          Donc:

             Conclusion :   µ = 17 en minutes

      2. Donnons la probabilité que la durée du jeu soit inférieur à 20 mn sachant qu'on choisit 

          de façon équiprobable l'un des jeux.

           On veut :   0, 5 P  ( X_A < 20 ) + 0,5 P(X_B < 20 )

            Or :     P( X_A < 20 ) = ( 20 − 9 ) / ( 25  − 9  ) = 11 / 16

             et      P( X_B < 20 ) ≈ 0,841345            normalFRep(− 10^{− 99​}, 20,17,3)  ≈ 0,841345  

          Donc :     0, 5 P  ( X_A < 20 ) + 0,5 P(X_B < 20 ) ≈ 0,764422

               Conclusion:  La probabilité que le jeu dure moins de 20 mn quand

                quand on choisit au hasard le jeu,  est  0,76     

          Partie B

       1.a. Complétons l'arbre pondéré .

        b. Montrons que pour tout entier naturel non nul ,

                a_{n + 1} = 0,5 a_n + 0,3

            D'après l'arbre et l'énoncé:

              P( A_n ) = a_n

               P( B_n )  = 1 −  a_n

               P( A_{n + 1}  / A_n ) = 0,8           ( notation plus pratiques pour une probabilité conditionnelle ) 

               P( B_{n + 1}  / B_n ) =  0,7     Donc      P( A_{n + 1}  / B_n ) = 1 − 0,7 =  0,3

            On a :

              A_{n + 1}  =  (   A_n  ∩ A_{n + 1}  ) U ( B_n  ∩ A_{n + 1}  )

               Comme   A_n  ∩ A_{n + 1}    et  B_n  ∩ A_{n + 1}   sont incompatibles  

                  on a :   P(    A_{n + 1}  ) = P (   A_n  ∩ A_{n + 1}  ) + P ( B_n  ∩ A_{n + 1}  )

  c-à-d             P( A_{n + 1}   ) =  P( A_n )  P( A_{n + 1}  / A_n ) + P( B_n )  P( A_{n + 1}  / B_n )   

                  Cela se traduit avec les notations de l'énoncé par:

                    a_{n + 1} = 0, 8  a_n   + 0,3 ( 1 −  a_n  )

        c-à-d 

        a_{n + 1} =  0, 8  a_n   + 0,3  − 0,3 a_n  

         c-à-d 

                  a_{n + 1} =  0, 5  a_n   + 0,3

         Conclusion : L'égalité  a_{n + 1} =  0, 5  a_n   + 0,3 est vraie pour tout n dans  IN*

          2 . Etude particulière.    a = 0,5   .ATTENTION : Il faut comprendre a₁ = 0,5

             a. Montrons par récurrence sur IN* , que  0 ≤ a_n ≤ 0,6

                • n = 1

                    a₁ =  0, 5     On a bien     0 ≤    a₁   ≤  0,6

              •  Soit n un élément de dansI N* quelconque .

               Montrons que si   0 ≤    a_n   ≤  0,6   alors   0 ≤    a_{n +1}   ≤  0,6

             Considérons :   0 ≤    a_n   ≤  0,6  

             Alors               0  ≤   0,5 a_n   ≤  0,5 ×0,6  

           Puis           0,3  ≤   0,5 a_n   + 0,3 ≤  0,5 × 0,6  + 0,3

                c-à-d :     0,3   ≤    a_{n + 1}      ≤  0,45 

         Donc :   0 ≤    a_{n +1}   ≤  0,6

                 Conclusion : L'encadrement est prouvé sur IN*

          b.Montrons que la suite ( a_n ) est croissante  sur IN*.

                 a_{n + 1} = 0,5 a_n + 0,3

                  Donc :    a_{n + 1} − a_n  =  0,3 − 0,5 a_n   

                 Comme   0 ≤    a_n    ≤  0,6   on a           0  ≥   −  a_n    ≥  − 0,6       

                Donc      0,5   ≥   − 0,5 a_n    ≥  − 0,5 × 0,6    

             Puis :       0,5 + 0,3   ≥  0,3 − 0,5 a_n    ≥ 0,3 − 0,5 × 0,6  

                c-à-d      0,8   ≥  a_{n + 1} − a_n      ≥  0

                      Comme   a_{n + 1} − a_n      ≥  0   pour tout n dans IN*

              Conclusion : La suite ( a_n ) est bien croissante sur IN*.

               c. Montrons que la suite (  a_n ) est convergente et donnons sa limite.

             •   La suite est (  a_n ) est majorée par 0,6      car    a_n    ≤  0,6     pour tout n dans IN*

             •   La suite est  croissante sur IN*.

               Conclusion:   D'après un résultat de cours, elle est donc  convergente.

               Soit L sa limite finie.    

                On a:    0   ≤  L   ≤  0,6     car     0   ≤   a_n    ≤  0,6     pour tout n dans IN*

               On a vu que :      a_{n + 1} = 0,5 a_n + 0,3    pour tout n dans IN* .

               Donc :    L =  lim  a_{n + 1} =  lim ( 0,5 a_n + 0,3   ) = 0,5 L + 0,3

                                  x →  + ∞              x → + ∞

                 La seule limite possible pour cette suite est donc le réel L tel que :

                          0   ≤  L   ≤  0,6

                       et  L =  0,5 L + 0,3

             c-à-d    

                        0   ≤  L   ≤  0,6 

                       et  0,5 L =  0,3

                c-à-d

                      0   ≤  L   ≤  0,6

                      et   L = 0,6

             Conclusion : La suite (  a_n )  converge vers  0,6

             3. Cas général .  Soit a dansl'intervalle [ 0, 1 ]. Donc  a₁  dans  [ 0, 1 ]

               Soit   u_n = a − 0,6   pour tout n dans IN*

               a. Montrons que la suite ( u_n ) est géométrique.

                       Pour tout n dans IN*

                        u_n+1 = a_n+1 − 0,6

                        Or   a_n+1 = 0,5 a_n + 0,3

                     Donc :       u_n+1 =  ( 0,5 a_n + 0,3 )   − 0,6

                    c-à-d           u_n+1   = 0,5 a_n − 0,3

                      Mais            a_n =   u_n  + 0, 6

                   c-àd             u_n+1   =    0,5  ( u_n + 0,6 ) − 0,3 = 0,5 u_n  + 0,3 − 0,3

                     c-à-d             u_n+1    = 0,5 u_n     pour tout n dans IN*

                 Conclusion : La suite (u_n ) est géométrique de raison 0,5                   

               Son  premier terme u₁ = a₁ − 0,6 =  a − 0,6

                  c-à-d   u₁  =  a − 0,6

              b. Montrons que pour tout n dans IN*  on a 

                         a_n = ( a − 0,6 ) × 0,5 ^{n − 1}   + 0,6

               Le terme général d la suite géométrique  (u_n) est :

                u_n =  u₁  0,5 ^{n − 1}    pour  tout n dans IN*

               Or :  u₁ =   a − 0,6

              Donc :   u_n   = ( a − 0,6 ) × 0,5 ^{n − 1}  

                Comme   u_n = a_n − 0,6      on a   a_n = u_n + 0,6

                 Ainsi    a_n = ( a − 0,6 ) × 0,5 ^{n − 1}  + 0,6     pour  tout n dans IN*

                 Conclusion : L'égalité  est avérée.

            c. Donnons la limite de la suite (  a_n  )

                Comme    − 1 < 0,5 < 1  on a

                lim 0,5 ^{n − 1}  = 0

                 n → + ∞

                 Donc    lim ( ( a − 0,6 ) × 0,5 ^{n − 1}  + 0,6 ) = ( a − 0,6 ) × 0  + 0,6 = 0,6

                                n → + ∞

                   c-à-d 

                       lim a_n = 0,6

                        n → + ∞   

                    Conclusion:

                                lim a_n = 0,6

                               n → + ∞          
                    Cette limite ne dépend pas de la valeur de a.

             d.   Pour n grand donc, à  long terme, la probabilité que le joueur fasse

                    une partie de type A est 0,6 et donc celle  qu’il fasse une partie de type B est 0,4.

                    Le joueur verra plus souvent la publicité insérée  dans les jeux de type A

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