EX4 Oblig. Juin 2019 INFO

                     INFO                  Bac  série S   juin 2019

        1. Construisons le point M.  

           ( Aucune notice n'est demandée )

          Dans le plan de la face ADHE du cube , les droites ( AE ) et ( HK ) sont coplanaires .

          Elles se coupent en un point M.

          Comme la droite ( HK ) est dans le plan ( FHK ), ce point M est le point 

         d'intersection du plan ( FHK ) avec la droite ( AE).

       Conclusion : En rouge le point M demandé.

        2. Construisons la section du cube avec le plan P.

           ( Aucune notice n'est demandée. )

          • La droite ( IJ ) est par définition une droite des milieux I et J dans le triangle EFH.

             Elle est donc bien parallèle à la droite ( FH ) du plan( FHK) et elle passe par I.

            C'est une droite du plan P située dans la face EFGH du cube.

            Le plan P a pour intersection avec la face EFGH le segment [ I J ].

          •  J est dans le plan P.

             Dans la face ADHE du cube, la droite passant par le point J et parallèle à la droite

            (HK ) du plan ( IJK ) est dans le plan P et  coupe la droite ( AE ) en un point

            appelé M ' par la suite.

             Le plan P a pour intersection avec la face ADHE du cube, le segment [ M ' J ].

           • Les points  M ' et I du plan P sont aussi dans la face ABFE du cube.

              Le plan P a pour intersection avec la face ABFE, le segment [ M ' I ]

             Finalement, le triangle   I J M '  est la section du plan P avec le cube.
    

             Conclusion :  En vert la section du cube par le plan P.

      Partie B 

               On dispose maintenant d'un repère orthonormé.

         1.a.  Montrons que le vecteur

                est un vecteur normal au plan ( FHK).

   b. Déduisons que le plan (FHK) admet   4 x + 4 y − 3 z − 1 = 0   comme équation cartésienne.

       On dispose du vecteur normal

          trouvé, dans la question précédente le plan ( FHK)  .

         Ainsi, une équation cartésienne de P est  de la forme:  4 x + 4 y − 3 z + d = 0

         Les coordonnées du point  F( 1,0 ,1 ) situé dans  P vérifient cette équation.

            Donc :   4 − 3  + d = 0 

               c-à-d    d =   −  1

          Cconclusion : OUI .  4 x + 4 y − 3 z − 1 = 0 est bien une équation cartésienne du plan ( FHK).

     c. Donnons une équation cartésienne du plan P   .

           Le vecteur normal  considéré pour le plan ( FHK) peut être considéré aussi pour le plan P

          car c'est un plan parallèle au plan (FHK).

           Une équation  est également  de la forme 

             4 x + 4 y − 3 z + e = 0  .

           Les coordonnées du point  I( 1 / 2  ,0 ,1 ) vérifient cette équation.

            Donc :   2  − 3  + e = 0

           c-à-d    e = 1

        Conclusion : Une équation cartésienne du plan est     4 x + 4 y − 3 z + 1 = 0  .

        d. Donnons les coordonnées du point M ' du plan P situé sur la droite (A E ).

           La droite ( AE ) est l'intersections des plans d'équations x = 0 et y =0

           donc elle admet pour équations :

                 x = 0

            et  y = 0 

          Considérons donc, pour le point  M ' ( x '  , y ' , z ' )recherché :

                        4 x ' + 4 y ' − 3 z ' + 1 = 0

                      et  x ' = 0   et  y ' = 0

         c'est - à dire 

                       − 3 z ' + 1 = 0

              et      x ' = 0   et  y ' = 0

        c-à-d

                 x ' = 0  

                 y ' = 0

                z ' = 1 / 3

            Conclusion : Le point est M '( 0 , 0, 1 / 3 )

             ( Figures explicatives non exgigées )

        2 . Soit Δ la droite orthogonale au plan P et passant par le point E.

           a. Donnons une représentation paramétrique de  Δ.

            Le vecteur 

             est un vecteur directeur de Δ.

          De plus Δ passe par le point E( 0 , 0 , 1 ).

           Donc, on peut conclure:

           Conclusion : une représentation paramétrique de  Δ est 

                    x = 4 t 

                     y = 4 t

                     z = − 3 t  + 1             avec t dans l'ensemble des nombres réels.

          b. Donnons les coordonnées du point L intersection de Δ  avec le plan ( ABC ).

           Le plan ( ABC ) est d'équation z = 0

          Considérons pour trouver L :

               z = 0

               x = 4 t 

               y= 4 t 

               z =   − 3 t + 1                  avec t dans IR

        c-à-d

                z = 0              avec t dans IR

                x = 4 t 

                 y = 4 t 

                 0 =   − 3 t + 1      (  ce qui s'écrit    t = 1 / 3    )     

        c-à-d     

                  z = 0

                  x = 4 / 3 

                  y = 4 / 3 

            Conclusion: On a le point L(  4 / 3 , 4 / 3 , 0 )

       c. Construction de  Δ.

                  En bleu sur la figure.

      d . Regardons si les droites  Δ et ( BF ) sont sécantes puis si les droites  Δ et (CG) le sont.

           ♦ Une représentation paramétrique de la droite ( BF ) qui passe par le point  B ( 1, 0 , 0 )

                  et de vecteur directeur de coordonnées ( 0 , 0 , 1 )

               est :

                   x = 1

                   y = 0

                   z = θ     avec     θ   dans IR

             On a vu qu'une représentation paramétrique de Δ est :            

                   x = 4 t

                   y = 4 t

                   z = − 3 t + 1     avec t   dans IR

            Regardons si l'on peut trouver un t et un   θ correspondant à un point commun.

             Considérons :                 

                   x = 1= 4 t         donc   t = 1 / 4

                   y = 0= 4 t           donc t = 0            Contradictoire 

                   z = θ =  − 3 t + 1

             Conclusion :  la droite ( BF ) ne rencontre pas ∆ .

       ♦ Une représentation paramétrique de la droite ( CG ) qui passe par le point  C 1, 1 , 0 )

          et de vecteur directeur de coordonnées ( 0 , 0 , 1 )

           est :

           x = 1

           y = 1

           z = θ ​  avec  θ   dans IR

           Même démarche. Cherchons un t et un θ éventuel pour un point commun

          Considérons :            

           x = 1 = 4 t                donc    t = 1/ 4

           y = 1 = 4 t                donc     t = 1 / 4

           z = θ ​ =   − 3 t + 1          Puis    θ =   − 3 / 4  + 1  = 1 / 4        

           Il existe bien un point commun pour lequel t = 1/ 4   et    θ =  1 / 4 

          Les coordonnées de ce point sont :

                x = 1

                y = 1

                z = 1 / 4

        Conclusion : Les droites ( CG )  et  Δ  sont sécantes au point de coordonnées ( 1 , 1 , 1 / 4 )

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