EX4 spé math Juin 2019 INFO

                                                INFO  EXERCICE 4   Spé math   bac S     Juin 2019

      PARTIE A

                 1. A est dans S .

                        En effet:

                       A est dans S      si et seulement si  

                          •   A est une matrice carrée de type (2,2)

                        •     6 , 5, − 5 et  − 4   sont des entiers relatifs

                        •    6× (  − 4 ) −(− 5 )× 5 = 1

                   Or :                         

                        •     A est une matrice carrée de type (2,2)

                        •     6 , 5, − 5   et  − 4   sont bien des entiers relatif

                        •     6 × (  − 4 ) − (− 5 )× 5 =  − 24 + 25 = 1

                        Conclusion : La matrice A est un élément de S 

                     REMARQUE :    Soit une matrice  

                            En fait on appelle  déterminant de A  la valeur  a d − c b 

                             On écrit:    det(A ) = a d − c b 

                         L'énoncé évite de parler de déterminant car le programme ne le demande pas.

             2.  Montrons que exactement quatre matrices A du type  

                   sont dans S  .

                   La matrice A  de type (2,2) est dans S    si et seulement si  

                                       a et d sont des entiers relatifs  tels que  a d − 3× 2 = 1  

                      c-à-d       a et d sont des entiers relatifs  tels que    ad = 7  

                       c-à-d       a et d des entiers relatifs diviseurs de 7  dont le produit vaut 7

                 Or    7 est un nombre premier qui n' admet deux diviseurs positifs 1 et 7 et

                         et donc  deux diviseurs négatifs   −  1 et −  7  .

                     Ainsi  la matrice A  de type (2,2) est dans S   ssi  

                    a= 1 et alors d = 7     ou      a =  −  1  et alors d=  −  7

                    ou a = 7 et alors d = 1   ou  a =  −  7 et alors d =  −  1

              Conclusion:      Il y a bien quatre matrices A de ce type possibles dans S.

       3. a. Résolvons l'équation diophantienne   ( E )   5 x  − 2 y = 1.

                     Le couple ( 1 ,2 )  en est une solution particulière car  5 × 1 − 2 × 2 = 5 − 4 = 1 

               On peut procéder par équivalence , ce qui évite la réciproque

        Ainsi,      ( E ) équivaut à   (    (E)    et   5 × 1 − 2 × 2 = 1        )     La seconde équation est une évidence que l'on rajoute

          c-à-d      ( E ) équivaut à   ( 5 x  − 2 y = 1   et   5 × 1 − 2 × 2 = 1     )    

             Par différence membre à membre           

        c-à-d       ( E ) ⇔  (     ( E )  et   5 x  − 2 y − (  5 × 1 − 2 × 2) = 1  − 1 = 0          )   Maintenant la seconde égalité permet d'avoir  la première  (E)

        c-à-d     ( E ) ⇔  (           5  ( x  −  1 ) −  2 ( y − 2)  = 0           )

        c-à-d     ( E ) ⇔  (            5  ( x  −  1 ) = 2 ( y − 2)             )          

        c-à-d     ( E ) ⇔  (         5  ( x  −  1 ) = 2 ( y − 2)    et     5    |    2 ( y − 2 )         )  

       c-à-d   , comme   5 est premier ave 2 et d'après Gauss,

                           ( E ) ⇔  (        5  ( x  −  1 ) = 2 ( y − 2)     et     5    |  ( y − 2 )              )  

        c-à-d           ( E ) ⇔  (          5  ( x  −  1 ) = 2 ( y − 2)     et   ∃ k dans Z /   y − 2 =  5 k   

       c-à-d           ( E ) ⇔  (         ∃ k dans Z /   y − 2 =  5 k    et    5  ( x  −  1 ) = 2 ( 5 k)

        c-à-d           ( E ) ⇔  (         ∃ k dans Z /   y − 2 =  5 k    et      x  −  1= 2 k

        c-à-d           ( E ) ⇔  (         ∃ k dans Z /   y =  2 + 5 k    et      x  =  1 + 2 k

           Conclusion:  L'ensemble des couples d'entiers relaifs solutions de ( E ) est :

                                     {  (      1 + 2 k   , 2 + 5 k  ) /   k  ∈  Z }

        b. Déduisons l'existence dans S d'une infinité de matrices de la forme 

             Le déterminant de cette matrice est  5 a   −  2 b

              Elle est dans S   ssi      a et b sont dans Z et  5 a   −  2 b = 1

                          c-à-d             ssi    a et b sont solution de ( E ) 

              Or ( E ) admet un ensemble solution infini.

             Donc on en déduit:

             Conclusion:     il y a une infinité de ce type de matrice dans S.

            De plus  on a vu dans la résolution de ( E ) la forme des couples solutions.

           Conclusion:  Les matrices de ce type sont :

                      où k décrit Z .

         PARTIE B

                      Soit  une matrice A de S:

              1. Montrons que a et b sont premiers entre eux.

                  Comme  A est dans S on a   a d − b c = 1       (   c-à-d  det(A ) = 1    )

                 Donc  :  ∃ u ∈ Z  et ∃ v ∈ Z   / a u + b v = 1

                       avec ici   u = d   et v = − c

                  D'après le th de  Bezout

                  on peut en déduire que :

                  Conclusion: a et b sont premiers entre eux.

               2. Soit les matrices :

                   a .Calcul de AB.

                           On a : 

                     Donc:

                      Or    ad  − bc = 1

                         Donc :

                     Conclusion : AB = I

                      On admet :           A B = B A 

          b. Déduisons que a est inversible.

                Comme    AB = BA = I ,   il existe bien une matrice A ' tel que A A' = A ' A = I

                    où   A ' = B

              Conclusion:  la matrice A est inversible.

              Son inverse est la matrice B.

                Conclusion   A^{− 1}   =  B

             REMARQUE:   

                    La matrice A ayant un déterminant non nul puis que égal à 1 est inversible.

          c. Montrons que    A^{− 1}    est dans S.

                  Pour cela montrons que B est dans S.

                •  B est  une matrice carrée d'ordre 2 dont les coefficients sont des entiers relatifs.

                •    Pour B    on a :    d a   − ( −  c ) (−  b ) = ad − bc        ( c'est le déterminant de B )

                     Or  ad − bc  = 1

                         Donc:               d a   − ( −  c ) (−  b ) = = 1

                     Ainsi B est dans S.

                    Mais   A^{− 1}   = B

                    Conclusion :   A^{− 1}    est dans S

            3.a. Montrons que x = d x ' − ​ b y '    avec x' et y'   dans Z.

                   On a :

                     Donc :

                        D'où

                  c-à-d:

                           ​    

                  Conclusion :  On a bien  x = d x ' − ​ b y '  

             b.. Montrons que x et y ont le même PGCD  que x ' et y '.

                •   On a:

                  c-à-d :

                             x ' = a x + b y

                             y ' = c x + d y

                   Tout diviseur commun de x et y divise  a x + b y doc x ' 

                 divise   c x + d y donc y ' .

                D'où : tout diviseur  commun de x et y divise x ' et y '

               •  On a vu que  : 

                       Donc :  Tout diviseur commun de x ' et y '  divise   d x ' − b y ' , donc x ,

                                    divise a y ' −  c x ' , donc y 

                  Ainsi :   Tout diviseur commun de x ' et y '  divise x et y

                    Conclusion :  x et y ont les mêmes diviseurs communs que x ' et y '.

                      Donc D = D '

                4. Déterminons le PGCD de x_n et y_n   pour tout n dans IN.

                    •   On a  :  2019 = 3 ×  673

                            Le PGCD de 2019 et 673 est 673.

                    •  D'autre part:

                      Soit

                          2 , 1 , 3 sont dans Z et  2  × 2 − 1 ×3 = 1

                        Donc la matrice  A est dans S. 

                        Or on a :

                          c-à-d 

                      Ainsi   x_n et y_n jouent le rôle de x et y de la question précédente.   

                        x_n+1 et y_n+1   jouent  le rôle de x ' et y ' de la question précédent pour tout entier naturel n

                       Le PGCD de x_n et y_n    est  le PGCD de    x_n+1 et y_n+1   pour tout entier naturel n

                      Donc le PGCD de  x_n et y_n    est celui de x₀ et y₀ .

                   Conclusion : Le PGCD x_n et y_n  de est  673   pour tout entier naturel n.

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