EXERCICE 2 BAC S 2014 S

              INFO EXERCICE  2                     BAC S  2014                     Métropole   

         EXERCICE 2

         1. a. Faisons un arbre pondéré.

                          Par hypothèse:

                            P( M ) = 0,1  % = 0,001     

                          Ainsi on déduit :

                                        Fir7 1

         De plus: 

                           Fir8  

           Donc  on déduit:

                               Fir9      

               Ainsi on peut pondérer l'arbre:      

                           Tb1

       b. Trouvons P( T ).

               Fir6    

      c. Regardons si l'on a: 

                         Fir10

                     On a :  

                    Fir11

 

                L'affirmation est vraie.

      2.  On considère  que :    

                  Fir12 

                 et    P( M )  = x

             Cherchons le plus petit x.

            Le nouvel arbre est :

           Fir13

             On a :  

                            Fir14

                  Imposons

                                   Fir16 1   

                                    avec x dans [ 0 ; 1]

                    Il vient:

                       0,99 x ≥  0,95 × ( 0,99 x + ( 1 - x ) × 0,001 )

        c-à-d

                      0,99 x  ≥  0,95 ×  0,99 x + 0,95 ( 1 - x )× 0,001 

        c-à-d

                    0,99 x ≥   0,9405 x + 0,00095 - 0,00095 x

       c-à-d

                        0,99 x  -  0,9405 x  + 0,00095 x  ≥   0,00095

       c-à-d

                           0,05045  x   ≥   0,00095

       c-à-d

                                 x  ≥  0,00095   /    0,05045

       c-à-d   

                        x   ≥  0,0188

         Partie B

          1.Calculons P( 890 ≤ X ≤ 920 )

             sachant que X est de loi normale N( 900 ; 72  ).

              A la calculatrice TI 84

                    2ND     VARS

               Se mettre sur la seconde ligne

                puis 890 , 920 ,900 , 7

                puis ENTER

                         On obtient:    0,92129

      Conclusion:   P( 890 ≤ X ≤ 920 ) ≈ 0,92    à 10-2     près

         b.Déterminons l'entier h positif tel que 

                 P( 900 - h ≤ X ≤  900 + h ) ≈  0,99     à 10- 3   près  

     On a  :

                 P( 900 - h ≤ X ≤  900 + h ) =  P(  - h ≤ X - 900 ≤   h )  = P(  - h / 7 ≤ ( X - 900 ) / 7 ≤   h / 7 )

    On considère donc :

                P(  - h / 7 ≤ ( X - 900 ) / 7 ≤   h / 7 )  ≈  0,99  

        Posons Z =  ( X - 900 ) / 7     

         Z est de loi normale centrée réduite.

          On a :       P(  - h / 7 ≤ Z ≤   h / 7 )  ≈  0,99  

          c-à-d         ∏( h / 7 ) -  ∏ ( - h / 7)   ≈  0,99         (     Rappel :     ∏( h / 7 ) =   P( Z ≤ h / 7 )   )

       c-à-d               ∏( h / 7 ) - ( 1 - ∏ (  h / 7) )  ≈  0,99     car     ∏( h / 7 ) + ∏ ( - h / 7) = 1

        c-à-d       2   ∏( h / 7 )  - 1       ≈  0,99  

    c-à-d              ∏( h / 7 )      ≈  1,99 / 2   

    c-à-d          P( Z ≤ h / 7 )      ≈  0,995    

           Avec la TI 84 Plus Siver Edition   

              2ND    VARS

          puis la troisième  ligne             invNormal( 

                  0.995 

              ENTER  

          On obtient      2,5758

           Donc    h / 7  ≈   2,5758

       c-à-d            h ≈   18,0308

       Conclusion : L'entier  h est 18  

      3.  Donnons d'abord un intervalle de fluctuation au seul de 95%.

            Ici :

                p =97% = 0,97

               1 - p = 0,03

                n = 1000

               On a bien :   n ≥  30

                                       n p ≥ 5        car         n p  =  1000 × 0,97  =  970 

                                      n( 1 - p )  ≥ 5      car     n( 1 - p ) = 1000 × 0,03 = 30   

        Considérons:

           Fir15

    c-à-d 

                      I1000   = [0,9594     ;   0,9805 ] 

      On a  pour l' échantillon :           F1000 = 53 / 1000 = 0,053

     0,0053  n'est pas dans l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%.

    Conclusion. OUI. Il faut remettre en cause les réglages du laboratoire.

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