EXERCICE 4 BAC S 2014 S

                  INFO  EXERCICE 4  BAC S      2014      Métropole

           EXERCICE 4

                Fir48

     1.a. Donnons  les coordonnées des points D et F.

                On a :  D( 0 ; 0 ; 1 )              et    F ( 1 / 2   ;  1/ 2   ; 0 )

        b. Donnons une représentation paramétrique de la droite ( DF).

             On a :

                       Fir49   

                   et     D( 0 ; 0 ; 1 )

                 donc:

                  Conclusion:

                  x =  0 + 0,5 t                                                

                  y = 0 + 0,5 t

                  z = 1 - t                    avec t dans IR

         c. Donnons une équation cartésienne du plan P passant par l'origine A et

               orthogonal à la droite ( DF )

                 Le vecteur 

                    Fir49

                 est un vecteur normal à P et P passe par l'origine.

              Conclusion:

                  Une équation cartésienne de P est donc:

                      0,5 x + 0,5 y - z = 0

                    ou encore    x + y - 2 z = 0

                  d. Trouvons les coordonnées du point H d'intersection de P avec la droite ( DF).

                  Reportons x   y et z  de la représentation paramétrique de ( DF) dans l'équation de P.

                        t / 2 + t / 2 - 2 ( 1 - t ) = 0

                  c-à-d     t - 2 + 2 t = 0

                  c-à-d  3t = 2

                  c-à-d   t = 2 / 3

                 en remplaçant  t par  2 / 3 dans a représentation paramétrique de ( D F )

                    Il vient   :   x = 0,5 × ( 2 / 3 ) =  1 / 3

                                        y =  0,5 × ( 2 / 3 ) =  1 / 3

                                         z = 1 - 2 / 3 = 1 / 3

                          Conclusion :

                                     H ( 1 / 3 ;  1 /3    ;    1 / 3  )

              e. Montrons que l'angle  

                       Fir50  

                    est un angle droit.

                        Fir54

                         Montrons pour cela 

                          Fir55

                          On a :

                      Fir56

             Cnclusion:   On a bien l'angle

                                  Fir50

                     qui est droit.                      

             2. a. Montrons que :

                    Fir57

                Le point M est sur la droite ( DF )

                On a un réel t tel que :  

                      Fir58

               Le point M est sur la droite ( DF )

               Les coordonnées de M sont donc :

                   x =   0,5 t                                                

                   y =  0,5 t

                   z = 1 - t       

      ( déjà fait lors de la recherche d'une représentation paramétrique de ( DF )  )

            On a le point E( 1 / 2  ;   0   ;   0  ).

            Ainsi:

              Fir59

        b.• Montrons que le triangle MEG est isocèle en M.

           Pour cela montrons que   MG2 = ME2   .

           On a  les points       G (   0    ;   1 / 2     ;  0 )   

                    et                    M ( t / 2    ;    t / 2    ;   1 - t )

            Ainsi :

                             Fir60 1

                 Conclusion: Le triangle MGE est bien isocèle en M.

        •   Déduisons :

                                  Fir61

              On a :

                  Fir71             

           Soit K le milieu du segment [ EG]. 

          Comme le triangle MEG est isocèle en M le point K

          est le pied de la hauteur issue de M

           Dans le triangle EMK rectangle en K on a:   

                 Fir74

                   Il suffit  de montrer  que  :

                      EK = 1 /( 2√2  )

                On a   E ( 1 / 2    ;   0   ;   0  )    et   G(   0  ;  1  / 2  ;   0  )

              Fir78

               Conclusion : L'égalité 

                        Fir61

                     est avérée.

         c . •Justifions que α est maximal ssi  sin(  α / 2  )  est maximal.

                     Soit  α   dans ] 0 ; π [.

                    On a : 

                  α / 2     est maximale ssi    sin(  α / 2  )  est maximal  avec      α / 2     dans ] 0 ; π / 2 [

                  En effet :

                      Sur     ] 0 ; π / 2 [   la fonction sinus est croissante strictement.

             • Déduisons que α est maximale ssi    ME2    est minimal.

                 On a :

                   Fir80

           d. Concluons:

            Fire90

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