EXERCICE 4 sujet 2015

                     INFO  EXERCICE 4        bac S   juin 2015

                 f( x ) = ( x + 1 ) ln( x + 1 ) − 3 x + 7          x dans [ 0, 20 ]    

           Partie 1

          1.  Montrer que pour tout réel x appartenant à  l'intervalle  [ 0, 20 ], on a

                       f '( x) = − 2 + ln ( x + 1 )

               La fonction u: x → x + 1 est sur  [ 0, 20 ]   est définie et dérivable et strictement positive.

               Donc la fonction ln o u l'est également et ( ln o u ) ' = u ' / u

              u ' : x  x → 1

            Donc :             f ' ( x )  = ( x + 1 ) ( 1 / ( x + 1 ) + 1 × ln( x + 1 ) − 3

            c-à-d                 f '( x ) = 1 + ln( x + 1 )  − 3

            c-à-d        

             Conclusion :        f '( x ) = − 2 + ln( x + 1)    pour tout x dans  [ 0, 20 ] 

               2. En déduire les variations de f sur l'intervalle  [ 0, 20 ] et dresser son tableau de variation.

                 f '( x ) = 0  

               s'écrit   ln( x + 1 ) = 2

                    c-à-d      x + 1 = e2  

                    c-à-d       x =  e2   − 1

               De plus f '( x ) > 0 

                   s'écrit     x >  e2   − 1

                Ainsi :

                  30lo

            3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe ( C )  au point d'abscisse 0.

                La valeur absolue de ce coefficient est appelée l'inclinaison du module de skateboard au point B.

                f ' ( 0 ) = ln ( 1 + 0 ) − 2

               Conclusion:  Le coefficient directeur est    f ' ( 0 ) = − 2 

               L'inclinaison en B est donc 2

      4. On admet que la fonction g définie sur l'intervalle [ 0, 20 ] par 

            g( x ) = 0,5 ( x + 1 )2  ln( x + 1 ) − 0,25 x2 − 0,5 x       a pour dérivée la fonction g '

            définie sur l'intervalle  [ 0, 20 ] par    g ' ( x )= ( x + 1 ) ln (x + 1 )

            Déterminer une primitive de f sur l'intervalle  [ 0, 20 ] .

           On constate que     f( x ) = g '( x ) −  3 x + 7

          Conclusion:

           Une primitive F de f sur   [ 0, 20 ] est:

             F: x  →  0,5 ( x + 1 )2  ln( x + 1 ) − (1 / 4 ) x2 − ( 1/ 2 ) x  −  ( 3 / 2 ) x2 + 7 x

             c-à-d  

             F: x  →  0,5 ( x + 1 )2  ln( x + 1 ) −( 7 / 4 )x2  + (13 / 2 ) x 

    Partie 2

           Les trois questions de cette partie sont indépendantes.

             1. Les propositions suivantes sont-elles exactes? Justifier les réponses.

              •  P1: "La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus

                       bas de la piste est au moins égale à 8 mètes"

              P1 est vraie.

            En effet :

              Le minimum de f est:       f( e2 − 1 ) = 10 − e2  

                                10 − e2   ≈   2,61

              Le maximum de f est:     f( 20 ) ≈  10,935

              L'écart est :      10,935 − 2,61= 8,325

            L'écart est donc  supérieur à 8.

              • P2 : " L'inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu'en C "

                  P2 est vraie.

               En effet: 

                       f ' ( 20 ) = ln(21 ) − 2

                     f '( 2 0 ) ≈ 1,04

                    L'inclinaison en c est donc 1,04

                    Or l'inclinaison en B est 2 (  déjà dit )

                    2 est presque le double de 1,04

              2. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module de peinture rouge.

                    La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m² par litre.

                     Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.

                 Trouvons d'abord l'aire de la surface à peindre.

                 •  Il y a un rectangle DD'C'C  d'aire:   10 × 10,935 =109,35

                 • Il y a un rectangleOA B' B d'aire :   10 × 7 = 70

                 • Il y a deux faces identiques chacune d'aire :

                             31lo  

             L'aire de la surface à peindre est donc :

                     32lo

             Calculons

                      31lo

              On a :    

              35lo 1

           L'aire de la surface à peindre est donc environ : 2 × 101,317 + 179,35 = 381,984   m²

        •  La quantité de litres de peinture est donc   381,984 / 5 ≈  76,396  litres 

            Conclusion: Il faut 77 litres de peinture

     3.a. Montrer que    BkBk + 1=√ ( 1 + ( f ( k + 1 ) − f( k ) )2 ) pour entier k variant de 0 à 19.

              On a pour tout entier k variant de 0 à 19:

             37lo

          Donc :

            Conclusion:    pour tout entier k variant de 0 à 19

                 BkBk + 1=√ ( 1 + ( f ( k + 1 ) − f( k ) )2 )

            b. Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante.

                   Pour K variant de ......0      à .......19

                   S prend pour valeur ................... S + 10× √ ( 1 + ( f ( k + 1 ) − f( k ) )2 )

                    Afficher  ..... S

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