SPE TES

   EXERCICE 1    7 points
   Commun à tous les candidats
  Partie A
On considère la fonction h déﬁnie sur l’intervalle [ 0;+ ∞ [ par : h(x) = x e^{− x}.
1. Déterminer la limite de la fonction h en + ∞.

REPONSE:

Soit x > 0.

Onpeut écrire: h( x ) = 1 / ( e^x / x )

Or: lim e^x / x = + ∞ ( Cours )

x → + ∞

Donc: lim ( 1 / ( e^x / x ) ) = 0

x → + ∞

Conclusion : lim h = 0

+ ∞
2. Étudier les variations de la fonction h sur l’intervalle [ 0 ; + ∞ [ et dresser son
tableau de variations.

REPONSE:

h est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [

comme produit de telles fonctions.

Soit x ≥ 0.

On a : h'( x ) = e^{− x} + x ( − e^{− x} ) = ( 1 − x ) e^{− x}
Comme Exp > 0 sur [ 0 ; + ∞ [ , h' (x ) est du signe de 1 − x

pour tout x dans [ 0 ; + ∞ [ .

Ainsi:

h'(x ) = 0 ssi x = 1

h' ( x ) < 0 ssi x > 1

h'(x ) > 0 quand 0 < x < 1

Conclusion:

h est strictement croissante sur l'intervalle [ 0 ; 1]

h est strictement décroissante sur l'intervalle [ 1 ; + ∞ [

Tableau de variation.

Tab017

3. L’objectif de cette question est de déterminer une primitive de la fonction h.
a. Vériﬁer que pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; + ∞ [,
on a :
h(x) = e^−x− h'(x) où h' désigne la fonction dérivée de h.

REPONSE:

Soit x ≥ 0.

On a vu que : h'(x) = e^{− x} + x ( − e^{− x} )

c-à-d x e^{− x} = e^{− x} − h'(x)

c-à-d h(x ) = e^{− x} − h'(x)

Conclusion : La vérification est faite.
b. Déterminer une primitive sur l’intervalle [ 0 ; + ∞ [ de la fonction
x → e^−x.

REPONSE:

La fonction V : x → − e^−xest une primitive de la fonction v: x → e^−x sur [ 0 ; + ∞ [.

En effet : V ' ( x ) = − ( − e^−x ) = e^−x = v( x ) pour tout x dans [ 0 ; + ∞ [.

Conclusion: La fonction x → − e^−x convient
c. Déduire des deux questions précédentes une primitive de la fonction h
sur l’intervalle [ 0 ; + ∞ [.

REPONSE:

Soit x ≥ 0 . On a vu que h( x) = e^{− x} − h'(x)

Or h' admet h comme primitive sur [ 0 ; + ∞ [ et

x → e^−xadmet x → − e^−xcomme primitive sur [ 0 ; + ∞ [.

Donc une primitive de h sur [ 0 ; + ∞ [ est x → − e^−x− h( x ) à une constante près.

Conclusion: La fonction x → − e^−x− h ( x ) sur [ 0 ; + ∞ [ est une primitive de h.
Partie B
On déﬁnit les fonctions f et g sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :
f (x) = x e^{− x}+ ln(x +1) et g (x) = ln(x + 1).
On note C_f et C_g les représentations graphiques respectives
des fonctions f et g dans un repère orthonormé.
Ces deux courbes sont tracées en annexe page 7.
Cette annexe est à rendre avec la copie.
1. Pour un nombre réel x appartenant à l’intervalle [ 0 ; + ∞ [,
on appelle M le point de coordonnées (x ; f (x)) et N le
point de coordonnées (x ; g (x)) : M et N sont donc les points
d’abscisse x appartenant respectivement aux courbesC_fet C_g .
a. Déterminer la valeur de x pour laquelle la distance MN est
maximale et donner cette distance maximale.

REPONSE:

Soit x ≥ 0 .

Comme on a les points M(x ; f (x)) et N(x ; g (x)) il vient:

On a : MN²= ( g (x) − f(x ) )²+ ( x − x )²= ( g (x) − f(x ) )²
c-à-d MN²= ( ln(x+ 1) − ( x e^{− x}+ ln(x +1) ) )²

c-à-d MN²= ( ln(x+ 1) − x e^{− x}− ln(x +1) )²

c-à-d MN² = ( − x e^{− x} )² = ( x e^{− x} )²

Comme x ≥ 0 , MN = x e^{− x} = h( x )

On a vu, d'après le tableau de variations, que h admettait un maximum e^{− 1} pour x = 1

sur [ 0 ; + ∞ [,

Conclusion: MN est maximale pour x = 1. La distance maximale MN est e^{− 1} .

b. Placer sur le graphique fourni en annexe page 7 les points M
et N correspondant à la valeur maximale de MN.

REPONSE:

Grap2017

2. Soit λ un réel appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[. On note D_λ
le domaine du plan délimité par les courbes C_f et C_g et par les
droites d’équations x = 0 et x = λ.
a. Hachurer le domaine D_λ. correspondant à la valeur λ proposée sur le
graphique en annexe page 7.

REPONSE:

Dom2017
b. On note A_λ. l’aire du domaine D_λ, exprimée en unités d’aire.
Démontrer que :
A_λ = 1 − (λ+1) / e^λ .

REPONSE:

On a vu que x → − e^−x− h( x ) c-à-d x → − e^−x−x e^−x est

une primitive de h sur l'intervalle [ 0 ; + ∞ [.

L'aire du domaine D_λ, exprimée en unités d’aire est donc :

Calint2017

Conclusion: On a bien A_λ = 1− (λ+1)/ e^λ en u.a.
c. Calculer la limite de A_λ lorsque λ tend vers + ∞ et interpréter le résultat.

REPONSE:

On a : A_λ= − e^− λ − h( λ ) + 1

Or lim h =0

+ ∞

et lim e^− λ = lim e^X = 0

λ → + ∞ X→ − ∞

D'où : lim ( − e^− λ − h( λ ) + 1 ) = − 0 − 0 + 1 = 1

λ → + ∞

Conclusion : lim A_λ= 1

λ → + ∞
Interprétons ce résultat:

L'aire, en u.a , du domaine compris entre les courbes C_f et C_g vaut 1 .

3. On considère l’algorithme suivant :

Variables :
λ est un réel positif
S est un réel strictement compris entre 0 et 1.
Initialisation :
Saisir S
λ prend la valeur 0
Traitement :
Tant Que 1− (λ+1) / e^λ< S faire
λ prend la valeur λ+1
Fin Tant Que
Sortie :
Afﬁcher λ

a. Quelle valeur afﬁche cet algorithme si on saisit la valeur S = 0,8 ?

Pour S = 0,8 on considère 1− (λ+1) / e^λ< 0,8

c-à-d 1− 0,8< (λ+1) / e^λ

c-à-d 0,2 < (λ+1) / e^λ

λ = 0 alors (λ+1) / e^λ≈ 1 A_λ≈ 0

λ = 1 alors (λ+1) / e^λ≈ 0,736 A_λ≈ 0,264 A_λ< 0,8

λ = 2 alors (λ+1) / e^λ≈ 0,406 A_λ≈ 0,594 A_λ< 0,8

λ = 3 alors (λ+1) / e^λ ≈ 0,1991 A_λ≈ 0,8009 A_λ ≥ 0,8

L'algo donnera λ = 2 + 1 c-à-d λ = 3
A_λ ≥ 0,8 pour la première fois pour λ = 3

b. Quel est le rôle de cet algorithme ?

Il permet de trouver le plus petit entier naturel λ tel que l'aire A_λ du domaine

D_λ soit supérieur ou égal S , en u.a

17MASSMLR1 page 2-3

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Ann457

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