SPE TES

EXERCICE 3 5 points
   Commun à tous les candidats
  Dans une vaste plaine, un réseau de capteurs permet de détecter la foudre et de produire
  une image des phénomènes orageux. Ces données servent en particulier aux services
  météorologiques pour améliorer leurs prévisions et pour permettre des interventions plus
rapides sur les lieux, notamment en cas d’incendie.
Le but de l’exercice est d’étudier les impacts de foudre détectés par un capteur.
L’écran radar, sur lequel les points d’impact de foudre sont observés, a l’allure suivante :

Fig2048
Le capteur de foudre étant représenté par le centre de l’écran, cinq cercles concentrique

correspondant aux rayons respectifs 20, 40, 60, 80 et 100 kilomètres délimitent
dans l’ordre cinq zones, numérotées de 1 à 5, déﬁnies par leur distance au capteur.
De plus, huit segments partant du capteur délimitent huit portions, de même ouverture angulaire,
nommées dans le sens trigonométrique de A à H.

  L’écran est ainsi partagé en quarante secteurs dénommés par une lettre et
  un nombre entre 1 et 5. Par exemple, le point P positionné sur la ﬁgure est
  situé dans le secteur B3.
On assimile l’écran radar à une partie du plan complexe en déﬁnissant un repère
orthonormé Re789   de la manière suivante :
• l’origine O marque la position du capteur ;
• l’axe des abscisses est orienté d’Ouest en Est ;
• l’axe des ordonnées est orienté du Sud au Nord ;
• l’unité choisie est le kilomètre.
Dans la suite, un point de l’écran radar est associé à un point d’afﬁxe z.

    PARTIE A

1. On note z_Pl’afﬁxe du point P situé dans le secteur B3 sur le graphique précédent.
On appelle r le module de z_P et θ son argument dans l’intervalle ] −π ; π ].
Parmi les quatre propositions suivantes, déterminer la seule qui propose un
encadrement correct pour r et pour θ (aucune justiﬁcation n’est demandée) :

Proposition A

Proposition B

Proposition C

Proposition D

40 < r < 60

0 < θ < π / 4

20 < r < 40

π / 2 < θ < 3π / 4

40 < r < 60

π/ 4 < θ < π / 2

0 < r < 60

− π / 2 < θ < − π / 4

REPONSE:

Proposition C
2. Un impact de foudre est matérialisé sur l’écran en un point d’afﬁxe z.
Dans chacun des deux cas suivants, déterminer le secteur auquel ce point appartient :
a. z = 70 e^{− i π / 3} ;
b. z = − 45√3 + 45 i.

REPONSE:

a. Pour z = 70 e^{− i π / 3} Le secteur est G4

b. z = − 45√3 + 45 i Le secteur est D5
car z = − 45√3 + 45 i = 90 ( − √3 / 2 + i / 2 ) = 90 e^{i 5π / 6}

  Partie B
On suppose dans cette partie que le capteur afﬁche un impact au point P d’afﬁxe
50 e^i π/ 3 .
En raison d’imprécisions de mesures, le point d’impact afﬁché ne donne qu’une
indication approximative du point d’impact réel de la foudre.
  Ainsi, lorsque le capteur afﬁche le point d’impact P d’afﬁxe 50 e^{i π / 3} , l’afﬁxe z du point
d’impact réel de la foudre admet :
• un module qui peut être modélisé par une variable aléatoire M suivant une loi
normale d’espérance µ = 50 et d’écart type σ = 5 ;
• un argument qui peut être modélisé par une variable aléatoire T suivant une loi
normale d’espérance π / 3 et d’écart type π / 12.
On suppose que les variables aléatoires M et T sont indépendantes, c’est-à-dire que,
quels que soient les intervalles I et J, les événements (M ∈ I) et (T ∈ J) sont indépendants.
    Dans la suite les probabilités seront arrondies à 10^{− 3}près.

1. Calculer la probabilité P(M < 0) et interpréter le résultat obtenu.

REPONSE: z = M e^iT

M est de loi normale N(50 ; 5 ).

P(M < 0) = normalcdf( −10^99,0,50,5) avec TI 84 +

D'où : P(M < 0) ≈ 0,000
Interprétation: La probabilité que le nombre complexe z soit de module

strictement négatif est impossible.

C'est évident car OP est une distance.

2. Calculer la probabilité P(M ∈]40 ; 60[).

REPONSE:

P(M ∈]40 ; 60[) = normalcdf( 40,60,50,5) avec TI 84 +

D'où : P(M ∈]40 ; 60[) ≈ 0,954
Interprétation: La probabilité que la foudre frappe dans la zone 3 est 0,955

3. On admet que P( T ∈ ] π / 4 ; π / 2 [ ) = 0,819.
En déduire la probabilité que la foudre ait effectivement frappé le secteur

B3 selon cette modélisation.

REPONSE:

T est de loi normale N( π / 3 ; π / 12 ).

La foudre frappe dans B3 se traduit par ( M ∈]40 ; 60[ )∩ ( T ∈ ] π / 4 ; π / 2 [ ).

Considérons: P( ( M ∈]40 ; 60[ )∩ ( T ∈ ] π / 4 ; π / 2 [ ))

On a : P( ( M ∈]40 ; 60[ )∩ ( T ∈ ] π / 4 ; π / 2 [ ))= P ( M ∈]40 ; 60[ ) × P ( T ∈ ] π / 4 ; π / 2 [ )

car M et T sont indépendantes.

Ainsi : P( ( M ∈]40 ; 60[ )∩ ( T ∈ ] π / 4 ; π / 2 [ )) ≈ 0,955 × 0,819

Donc : P( ( M ∈]40 ; 60[ )∩ ( T ∈ ] π / 4 ; π / 2 [ )) ≈ 0,782

Conclusion: La foudre frappe en B3 avec une probabilité de 0,782

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17MASSMLR1 page 4-5

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