SPE TES

On étudie un modèle de propagation d’un virus dans une population, semaine après
semaine. Chaque individu de la population peut être, à l’exclusion de toute autre
possibilité :
• soit susceptible d’être atteint par le virus, on dira qu’il est « de type S » ;
• soit malade (atteint par le virus) ;
• soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus).
Un individu est immunisé lorsqu’il a été vacciné, ou lorsqu’il a guéri après avoir été
atteint par le virus.
Pour tout entier naturel n, le modèle de propagation du virus est déﬁni par les règles
suivantes :
• Parmi les individus de type S en semaine n, on observe qu’en semaine n+1 : 85 %
   restent de type S, 5 % deviennent malades et 10 % deviennent immunisés ;
• Parmi les individus malades en semaine n, on observe qu’en semaine n +1 : 65 %
restent malades, et 35 % sont guéris et deviennent immunisés.
• Tout individu immunisé en semaine n reste immunisé en semaine n +1.
   On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les événements
suivants :
S_n: « l’individu est de type S en semaine n » ;
M_n : « l’individu est malade en semaine n » ;
I_n : « l’individu est immunisé en semaine n ».
En semaine 0, tous les individus sont considérés « de type S », on a donc les probabilités suivantes :
P (S₀) = 1 ; P (M₀) = 0 et P (I₀) = 0.
  Partie A
On étudie l’évolution de l’épidémie au cours des semaines 1 et 2.
1. Reproduire sur la copie et compléter l’arbre de probabilités donné ci-dessous :

Arb217 1

REPONSE:

Arb2173

2. Montrer que P (I₂) = 0,2025.

REPONSE:

On a : I₂= ( I₂ ∩ S₁) U ( I₂∩ M₁ ) U ( I₂∩ I₁ )

Comme ( I₂ ∩ S₁) ; ( I₂∩ M1 ) ; ( I₂∩ I₁ ) sont incompatibles

On a : P( I₂ ) = P( I₂ ∩ S₁) + P( I₂ ∩ M₁) + P( I₂ ∩ I₁)

Comme P( S₁ ) ; P( M₁) ; P(I₁ ) ne sont pas nulles on a:

P( I₂ ) = P(S₁ ) × P_S1( I₂ ) + P( M₁) × P_M1( I₂ ) + P ( I₁) × P_I1( I₂)

c-à-d

P( I₂ ) = 0,85 × 0,10 + 0,05 × 0,35 + 0,10× 1

Conclusion: On a bien P( I₂ ) = 0,2025
3. Sachant qu’un individu est immunisé en semaine 2, quelle est la probabilité,
arrondie au millième, qu’il ait été malade en semaine 1 ?

REPONSE:

Considérons :

P_I2( M₁) = P( M₁ ∩ I₂ ) / P( I₂ )

c-à-d

P_I2( M₁) = ( 0,05 × 0,35 ) / 0,2025 = 0,175 / 0,2025

c-à-d

P_I2( M₁) =0,0864

Conclusion: P_I2( M₁) = 0,086

PARTIE B
On étudie à long terme l’évolution de la maladie.
Pour tout entier naturel n, on : u_n = P (S_n), v_n = P (M_n) et w_n = P (I_n ) les probabilités
respectives des événements S_n, M_n et I_n.
1. Justiﬁer que, pour tout entier naturel n, on a : u_n + v_n + w_n = 1.
On admet que la suite (v_n) est déﬁnie par v_n+1 = 0,65 v_n + 0,05 u_n .

REPONSE:

On a : P( S_nU M_nU I_n ) = 1 car S_nU M_nU I_ncertain.

Mais S_n ; M_n; I_n sont deux à deux disjoints c-à-d incompatibles.

Donc: P( S_nU M_nU I_n ) = P (S_n) + P (M_n) + P (I_n )

Ainsi : P (S_n) + P (M_n) + P (I_n ) = 1

c-à-d u_n + v_n + w_n = 1.

Conclusion: On a bien l'égalité
2. À l’aide d’un tableur, on a calculé les premiers termes des suites (u_n), (v_n) et
(w_n).

Tablex2017
Pour répondre aux questions a. et b. suivantes, on utilisera la feuille de calcul
reproduite ci-dessus.
a. Quelle formule, saisie dans la cellule C3, permet par recopie vers le bas,
de calculer les termes de la suite (v_n)?

REPONSE:

On a admis : v_n+1 = 0,65 v_n + 0,05 u_n

Conclusion:dans C₃ on a : = 0.65* C2 + 0.05*B2
b. On admet que les termes de (v_n) augmentent, puis diminuent à partir
d’une certain rang N, appelé le « pic épidémique » : c’est l’indice de la
semaine pendant laquelle la probabilité d’être malade pour un individu
choisi au hasard est la plus grande.
Déterminer la valeur du pic épidémique prévue par ce modèle.

REPONSE:

v₆= 0,0859 est la plus grande probabilité v_n dans la colonne C.

Conclusion: Le pic est l'indice 6
3. a. Justiﬁer que, pour tout entier naturel n, on a : u_n+1 = 0,85 u_n .
En déduire l’expression de u_n en fonction de n.

REPONSE:

• D'après l'énoncé :

Exp2017 1

On a : P( S_n ∩ S_n+1) = 0,85× P(S_n) = 0,85 u_n

On a : u_{n + 1} = P( S_{n + 1} ) = P( S_n ∩ S_n+1) + P( M_n ∩ S_{n+ 1})

c-à-d

u_{n + 1} = 0,85 u_n +P( M_n ) × 0 ₌ 0,85 u_n + v_n × 0 ₌0,85 u_n

Donc:

Conclusion: u_{n + 1} = 0,85 u_n pour tout entier naturel n

• La suite ( u_n ) est géométrique de raison 0,85 et de premier terme u₀ = P(S₀) = 1.

Donc: u_n = 1× 0,85 ⁿpour tout entier naturel n.

Conclusion: u_n = 0,85 ⁿpour tout entier naturel n.
b. Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier
naturel n,

For017 .

REPONSE:

• n = 0

On a :

v₀ = P (M₀) = 0

et ( 1 / 4 ) ( 0,85ⁿ − 0,65ⁿ ) =( 1 / 4 ) ( 0,85⁰ − 0,65⁰ ) = ( 1/4) ( 1 − 1 ) = 0

ainsi : v_n = ( 1 / 4 ) ( 0,85ⁿ − 0,65ⁿ ) pour n = 0

• Soit n dans IN quelconque.

Montrons que si v_n = ( 1 / 4 ) ( 0,85ⁿ − 0,65ⁿ ) alors v_{n+ 1} = ( 1 / 4 ) ( 0,85^{n + 1} − 0,65^{n + 1} )

Considérons:

v_{n+ 1} = 0,65 v_n + 0,05 u_net u_n = 0,85 ⁿet v_n = ( 1 / 4 ) ( 0,85ⁿ − 0,65ⁿ )

Il vient en reportant:

v_{n+ 1} = 0,65 ( 1 / 4 ) ( 0,85ⁿ − 0,65ⁿ ) + 0,05× 0,85 ⁿ

c-à-d

v_{n+ 1} = 0,65 ( 1 / 4 ) 0,85ⁿ − ( 1 / 4 ) 0,65^{n + 1} + 0,05 × 0,85 ⁿ

c-à-d

v_{n+ 1} = ( 0,65 ( 1 / 4 ) + 0,05 ) 0,85ⁿ − ( 1 / 4 ) 0,65^{n + 1}

c-à-d

v_{n+ 1} = ( 1 / 4 ) ( 0,65 + 0,05 × 4 ) 0,85ⁿ − ( 1 / 4 ) 0,65^{n + 1}

c-à-d

v_{n+ 1} = ( 1 / 4 ) 0,85 × 0,85ⁿ − ( 1 / 4 ) 0,65^{n + 1}

c-à-d

v_{n+ 1} = ( 1 / 4 ) ( 0,85^{n + 1} − 0,65^{n + 1} )

Conclusion: L'égalité est avérée.

4. Calculer les limites de chacune des suites (u_n), (v_n) et (w_n).
Que peut-on en déduire quant à l’évolution de l’épidémie prévue à long terme
par ce modèle ?

REPONSE:

• On a: − 1 < 0,85 < 1 Donc lim 0,85ⁿ = 0

n → + ∞

Conclusion : lim u_n = 0

n → + ∞

• On a: − 1 < 0,85 < 1 et − 1 < 0,65 < 1

Donc : lim 0,85ⁿ = lim 0,65ⁿ = 0

n → + ∞ n → + ∞

Or v_n = ( 1 / 4 ) ( 0,85ⁿ − 0,65ⁿ )

D'où:

lim v_n = lim ( ( 1 / 4 ) ( 0,85ⁿ − 0,65ⁿ )) = 0

n → + ∞ n → + ∞

Conclusion: lim v_n = 0

n → + ∞

• On a : w_n = 1 − u_n − v_n

Ainsi : lim w_n = lim (1 − u_n − v_n ) = 1 − 0 − 0 = 1

n → + ∞ n → + ∞

Conclusion : lim w_n = 1

n → + ∞

Conséquence: à long terme il n'y a la poulation est immunisée . Il n'y aura plus de malade.

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