Sujet EXERCICE 4 Oblig. 2018

                                    Baccalauréat S         Métropole–La Réunion           22 juin 2018 

       EXERCICE  4     ( 5 points  )
         Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
         Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct
            Repbac2018.

                       On pose z0 = 8 et, pour tout entier naturel n :
                    zn + 1 = ( ( 3 − i √3) / 4 )  zn

                      On note An le point du plan d’affixe zn.
             1. a. Vérifier que :
                         (  3 − i √3  )  / 4 = ( √3  / 2 ) e − i π / 6 .
                b. En déduire l’écriture de chacun des nombres complexes z1, z2 et z3 sous forme exponentielle

                     et vérifier que z3 est un imaginaire pur dont on précisera la partie imaginaire.
                c. Représenter graphiquement les points A0 , A1 , A2 et A3 ; on prendra pour unité le centimètre.
             2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
                         zn = 8 × ( √3 / 2 )n  e − i n π / 6
                 b. Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn|.
                      Déterminer la nature et la limite de la suite (un).
             3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel k,
                      (  zk + 1 − zk  ) / zk + 1  = −  ( 1/ √3 ) i.
                        En déduire que, pour tout entier naturel k, on a l’égalité : 
                          Ak Ak+1 = (1 / √3 ) OAk+1.
                b. Pour tout entier naturel n, on appelle ℓn la longueur de la ligne brisée reliant dans cet
                      ordre les points A0, A1, A2, ..., An.
                     On a ainsi : ℓn = A0A1 + A1A2 +...+ An−1An.
                     Démontrer que la suite (ℓn) est convergente et calculer sa limite.

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