INFO DV 6 /3/09 BTS 1B

INFO   DV  à la maison  BTS1B           6 MARS  2009

 EXERCICE . 47

   On  a :         f( x ) = x + 3                si x < - 2

                       f( x ) = - 3 x - 5           si  - 2 =< x < 3  

                       f( x ) = 2 x - 7               si x >= 3

            1. Donnons le sens de variation de f.

             La fonction f est dite affine par morceaux. 

              Sur chacun des intervalles  ] - ∞ , - 2 [           ;        [ - 2 ,  3 [      ;  [ 3  , +  ∞ [  

             elle a une expression affine différente.

            Il suffit de regarder le signe du coefficient directeur pour connaître le sens de variation.

            On a 1 puis - 3 enfin 2 .

           Donc f est croissante strictement sur l'intervalle  ] - ∞ , - 2 [    , puis décroissante strictement

            sur l'intervalle [ - 2 ,  3 [    enfin   croissante sur l'intervalle [ 3  , +  ∞ [  .

           ATTENTION: Elle n'est pas dérivable en - 2 ni 3.     

x  - ∞                      - 2                              3                                                  + ∞ 
f( x )            ↑                   1         ↓   - 14       - 1                    ↑        
              2. Courbe .

                

                3. Résolution de f( x ) = 0.

                   • Sur   ] - ∞ , - 2 [  .                   f( x ) = 0    se traduit par      x + 3 = 0  c-à-d    x = - 3.

                                                                  - 3 est bien dans l'intervalle    ] - ∞ , - 2 [  .  

                                                                  - 3  convient .

                    • Sur   [ - 2 ,  3 [ .                  f( x ) = 0    se traduit par   - 3 x - 5 = 0    c-à-d  x = - 5 / 3 .

                                                                     - 5 / 3  est dans l'intervalle      [ - 2 ,  3 [ .

                                                                   - 5 / 3  convient.

                    • Sur   [ 3  , +  ∞ [  .                   f( x ) = 0    se traduit par      2 x - 7 = 0   c-à-d   x = 7 / 2.

                                                                      7 / 2     est dans l'intervalle    [ 3  , +  ∞ [  .    

                                                                      7 / 2    convient.

               Conclusion:        S =  {   - 3 ;    - 5 / 3  ;      7 / 2 }      

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            EXERCICE 48

                  Soit  f( x ) = | - 2 x + 9 |    pour tout x dans IR .

        1. Simplifions l'expression de f.

              - 2 x + 9 < 0   s'écrit    9 < 2 x    c-à-d   9 / 2 < x

              - 2 x + 9 > 0   s'écrit    9 > 2 x    c-à-d   9 / 2 > x

               - 2 x + 9 = 0   s'écrit    9 = 2 x    c-à-d   9 / 2 = x

   Conclusion:     f( x ) = - 2 x +  9   quand  x < 9 / 2 

 

 

                                   f(x ) = 2 x - 9        quand    x >=  9 / 2

        2. Donnons le tableau de variation de f .

              f est une fonction affine par morceaux.

              Le coefficient directeur est  - 2 sur l'intervalle   ] -  ∞  ,   9 / 2 [.

              Le coefficient directeur est    2 sur l'intervalle [  9 / 2  ,  +  ∞ [.

              Donc:           f est strictement décroissante  sur  ] -  ∞  ,  -9 / 2 [.

                                     f est strictement   croissante  sur [ 9 / 2  ,  +  ∞ [.

                ATTENTION:             f n'est pas dérivable en   9 / 2   mais f est définie en 9 / 2.

x  -  ∞                                                   9 / 2                                             +  ∞                
f( x )                         ↓                                     0                           ↑     

         3. Courbe .

 

 

 

          

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