INFO EX 2 BTS2R DS1 24 OCT 08
EX.2
Partie A
1. a. Justifions que la v.a.r X suit une loi binomiale B( n ; p ) et
précisons n et p.
ON NE DEMANDE PAS DE DIRE QUE LA V.A.R X EST DE LOI BINOMIALE.
ON DEMANDE POURQUOI.
On REPETE 40 fois , DE FACON INDEPENDANTE, une épreuve de Bernoulli
dont les deux issues sont :
" entre dans la pharmacie" , " n'entre pas dans la pharmacie" avec
0,15 la probabilité de " entre dans la pharmacie".
La v.a.r X indique le nombre de "entre dans la pharmacie"
La v.a.r X suit donc une loi binomiale B( 40 ; 0,15 ).
b. Calcul de E( X ).
E( X ) = 40 × 0,15 = 6
Donc E( X ) = 6
Cela signifie" Parmi les 40 usagers on peut espérer que 6 usagers
entrent dans la pharmacie" .
2. Calcul de P( X = 0 ).
P( X = 0 ) = C40 0 0,150 × 0,8540
P( X = 0 ) = 0,8540
P( X = 0 ) = 0,001
Calcul de P( X >= 1 ) .
P( X >= 1 ) = 1 - P( X < 1 ) = 1 - P( X = 0 )
On a donc P( X >= 1 ) = 1 - 0,0015 = 0,9985
Ainsi: P( X >= 1) = 0,9985
Partie B
Y est une v.a.r de loi normale N( 30; 4 ) .
1. Calcul de P( Y >= 34 ).
On a : P( Y >= 34 ) = 1 - P( Y < 34 )
Mais Y n'est pas centrée réduite.
Considérons la nouvelle v.a.r continue centrée et réduite T
en posant T = ( Y - 30 ) / 4
Ainsi: P( Y >= 34 ) = 1 - P( ( Y - 30 ) / 4 < (34 - 30 ) / 4 )
c-à-d
P( Y >= 34 ) = 1 - P( T < 1 )
Mais T est une v.a.r de loi normale centrée réduite N( 0 ; 1 ).
Donc P( Y >= 34 ) = 1 - ∏( 1 )
c-à-d P( Y >= 34 ) = 1 - 0,8413 = 0,1587
P( Y >= 34 ) = 0,1587
• Calcul de P( 26 < Y < 34 ).
On a P( 26 < Y < 34 ) = P( ( 26 - 30 ) / 4 < T < ( 34 - 30 ) / 4 )
c-à-d P( 26 < Y < 34 ) = P( - 1 < T < 1 ) = ∏( 1 ) - ∏( - 1 )
c-à-d P( 26 < Y < 34 ) = ∏( 1 ) - ( 1 - ∏( 1 ) ) = 2 ∏( 1 ) - 1
Ainsi P( 26 < Y < 34 ) = 2 × 0,8413 - 1
Donc P( 26 < Y < 34 ) = 0,6826
2. Soit P( Y >= a ) = 0,04. Trouvons le réel a.
On a donc : 1 - P( Y < a ) = 0,04
c-à-d 1 - 0,04 = P( Y < a )
c-à-d 0,96 = P( T < ( a - 30 ) / 4 )
0,960 = ∏( ( a - 30) / 4 )
Avec la table on obtient : 0,9608 = ∏( 1,76)
Donc considérons ( a - 30 ) / 4 = 1,76
c-à-d a = 1,76 ×4 + 30 = 37,04
L'entier le plus proche pour a est : 37
Donc a = 37
La probabilité qu'il y ait au moins 37 personnes qui de 18h
à 20h pénètrent dans la pharmacie est de 4 %.
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