INFO EX4 DS n° 5 1S 27/01/10

   

      INFO EX 4              DS n° 5           1S            27 janvier 2010

        EXERCICE 4                     8 POINTS
           

          Le plan est muni d'un repère orthonormal  . 

                        ( Unité graphique : 1 cm) 

              Soit les points A( - 3 , 1) et B( 1 , 5 ). 


              On note I le point milieu du segment [AB].

            1.a. Faire une figure.

               b. Donner les coordonnées du point I.

                    xI = (  - 3 + 1 ) / 2  =  - 1

 

 

 

 

 

 

 

                    yI = ( 1 + 5 ) / 2 = 3 

 


            2. Placer le point G barycentre des points pondérés

                 (A , 1) et ( B , 2 ).

                   On utilise l'égalité  :  vect( AG ) = (2 / ( 1 + 2)  ) vect ( AB )

                        c-à-d      vect( AG ) = (2 /3 ) vect ( AB )

                Placer le point G' barycentre des points pondérés

               ( A , 1) et ( B , - 2 ).

                        On utilise l'égalité  :  vect (AG' ) = ( -2 / ( 1 - 2 )  ) vect ( AB )

                                                      c-à-d      vect (AG' )  = 2 vect( AB )

            3. Déterminer et construire l'ensemble ( C ) des points M du plan

               tels que:        .

                            ( On réduira d'abord les deux vecteurs )

                         On a:     ( Prop . fond. )

                             vect ( MA ) + 2 vect( MB ) =   3 vect(MG )

                              vect ( MA ) - 2 vect( MB ) =   - vect(MG' )

                     Donc 

                      se traduit par   3 vect(MG ) .( - vect( MG' )  )= 0

                        c-à-d      vect(MG ) .vect( MG' ) = 0

                L'ensemble ( C )  est le cercle de diamètre [ G G' ].

            4. Trouver par la méthode de votre choix une équation du cercle

                de diamètre [AB].

                     On a :    ( x + 1 )² + ( y - 3 )² = ( AB / 2 )²

                    or  AB² = 32

              Donc     ( x + 1 )² + ( y - 3 )² = 8

            5. Trouver une équation de la droite D passant par le point I et

                 de vecteur normal .

                 . Trouver  la distance AB.

                       Le vecteur   a pour coordonnées (  4 ; 4 ).

                  Conclusion:           AB =  4√2

            6. Déterminer et construire l'ensemble W des points M du plan tels que :

                 

                 On dispose de l'égalité :

                                

                On a :    AB = 4√2

                               AB² = 32

                              se traduit par   MI² - AB² / 4  - 4

                                                                c-à-d     MI² = AB² / 4 - 4

                                                                 c-à-d    MI² =  32 / 4 - 4

                                                                 c-à-d    MI² = 8 - 4 = 4

                                                                  c-à-d MI = 2

 Conclusion:  L'ensemble cherché est le cercle de centre I et de rayon 2

 

 


            2. Placer le point G barycentre des points pondérés

                 (A , 1) et ( B , 2 ).

                   On utilise l'égalité  :  vect( AG ) = (2 / ( 1 + 2)  ) vect ( AB )

                        c-à-d      vect( AG ) = (2 /3 ) vect ( AB )

                Placer le point G' barycentre des points pondérés

               ( A , 1) et ( B , - 2 ).

                        On utilise l'égalité  :  vect (AG' ) = ( -2 / ( 1 - 2 )  ) vect ( AB )

                                                      c-à-d      vect (AG' )  = 2 vect( AB )

            3. Déterminer et construire l'ensemble ( C ) des points M du plan

               tels que:        .

                            ( On réduira d'abord les deux vecteurs )

                         On a:     ( Prop . fond. )

                             vect ( MA ) + 2 vect( MB ) =   3 vect(MG )

                              vect ( MA ) - 2 vect( MB ) =   - vect(MG' )

                     Donc 

                      se traduit par   3 vect(MG ) .( - vect( MG' )  )= 0

                        c-à-d      vect(MG ) .vect( MG' ) = 0

                L'ensemble ( C )  est le cercle de diamètre [ G G' ].

            4. Trouver par la méthode de votre choix une équation du cercle

                de diamètre [AB].

                     On a :    ( x + 1 )² + ( y - 3 )² = ( AB / 2 )²

                    or  AB² = 32

              Donc     ( x + 1 )² + ( y - 3 )² = 8

            5. Trouver une équation de la droite D passant par le point I et

                 de vecteur normal .

                 . Trouver  la distance AB.

                       Le vecteur   a pour coordonnées (  4 ; 4 ).

                  Conclusion:           AB =  4√2

            6. Déterminer et construire l'ensemble W des points M du plan tels que :

                 

                 On dispose de l'égalité :

                                

                On a :    AB = 4√2

                               AB² = 32

                              se traduit par   MI² - AB² / 4  - 4

                                                                c-à-d     MI² = AB² / 4 - 4

                                                                 c-à-d    MI² =  32 / 4 - 4

                                                                 c-à-d    MI² = 8 - 4 = 4

                                                                  c-à-d MI = 2

 Conclusion:  L'ensemble cherché est le cercle de centre I et de rayon 2

 

 

                 (A , 1) et ( B , 2 ).

                   On utilise l'égalité  :  vect( AG ) = (2 / ( 1 + 2)  ) vect ( AB )

                        c-à-d      vect( AG ) = (2 /3 ) vect ( AB )

                Placer le point G' barycentre des points pondérés

               ( A , 1) et ( B , - 2 ).

                        On utilise l'égalité  :  vect (AG' ) = ( -2 / ( 1 - 2 )  ) vect ( AB )

                                                      c-à-d      vect (AG' )  = 2 vect( AB )

            3. Déterminer et construire l'ensemble ( C ) des points M du plan

               tels que:        .

                            ( On réduira d'abord les deux vecteurs )

                         On a:     ( Prop . fond. )

                             vect ( MA ) + 2 vect( MB ) =   3 vect(MG )

                              vect ( MA ) - 2 vect( MB ) =   - vect(MG' )

                     Donc 

                      se traduit par   3 vect(MG ) .( - vect( MG' )  )= 0

                        c-à-d      vect(MG ) .vect( MG' ) = 0

                L'ensemble ( C )  est le cercle de diamètre [ G G' ].

            4. Trouver par la méthode de votre choix une équation du cercle

                de diamètre [AB].

                     On a :    ( x + 1 )² + ( y - 3 )² = ( AB / 2 )²

                    or  AB² = 32

              Donc     ( x + 1 )² + ( y - 3 )² = 8

            5. Trouver une équation de la droite D passant par le point I et

                 de vecteur normal .

                 . Trouver  la distance AB.

                       Le vecteur   a pour coordonnées (  4 ; 4 ).

                  Conclusion:           AB =  4√2

            6. Déterminer et construire l'ensemble W des points M du plan tels que :

                 

                 On dispose de l'égalité :

                                

                On a :    AB = 4√2

                               AB² = 32

                              se traduit par   MI² - AB² / 4  - 4

                                                                c-à-d     MI² = AB² / 4 - 4

                                                                 c-à-d    MI² =  32 / 4 - 4

                                                                 c-à-d    MI² = 8 - 4 = 4

                                                                  c-à-d MI = 2

 Conclusion:  L'ensemble cherché est le cercle de centre I et de rayon 2