INFO EX 3 ; 4 ; 5 DS2 BTS1A 22 nov. 08
EX.3 Résoudre dans IR l'inégalité:
3 ( x + 2 ) ( x - 7 ) < 0
( Il est inutile de développer )
REP. Nous voulons que le trinome du second degré qui
admet - 2 et 7 comme racines soit du signe contraire à
a = 3 . Nous devons donc prendre x entre les deux racines
en les refusant ici puisque l'inégalité est stricte.
Conclusion: SIR = ] - 2 , 7[
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EX.4
Une grille comporte 49 cases numérotées de 1 à 49.
On demande de cocher 7 cases .
1. Combien de grilles remplies différentes peut - on avoir ?
2. Combien de grilles différentes remplies avec des nombres
strictement supérieurs à 10 ,uniquement , peut-on avoir ?
3. Parmi les sept cases cochées par le joueur il y a le numéro complémentaire.
En admettant que le joueur a le bon numéro complémentaire , combien de
grilles différentes peut-on avoir ?
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REP. 1. Dénombrons les griles remplies possibles du loto.
Il y en autant que de combinaisons de 7 cases parmi 49 cases.
II y en a donc : C49 7 = 85 900 584 .
Conclusion: Il y a 85 900 584 grilles différentes remplies.
2. Dénombrons les grilles remplies différentes où les cases
cochées ne comportent que des nombres impairs.
Il y a 39 entiers strictement supérieur à 10 .
Nous devons en choisir 7 parmi les 39possibles.
Il y a donc C39 7 grilles différentes de ce type.
Conclusion : Il y a 15 380 937 grilles remplies différentes
avec seulement des nombres strictement
supérieurs à 10.
3. On supppose que le joueur a déjà le bon numéro complémentaire.
Le nombre de grilles différente ayant déjà ce
numéro complémentaire bon est 1 × C48 6 .
Conclusion: Il y a 12 271 512 grilles différentes où le numéro
complémentaire est le bon.
ATTENTION. Le nombre de grilles différentes où
l'on choisi d'abord un numéro , qui est pour le joueur
son numéro complémentaire pas forcément le bon ,
puis six autres numéros est : 7 × C48 6 .
Ce n'est pas ce que l'on demande.
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EX. 5 bis ( Non proposé en BTS1A )
Une urne contient 5 boules rouges et 15 boules jaunes.
On tire successivement 6 boules , sans remise , de l'urne.
1. Soit A l'événement: " Obtenir des boules de la même couleur."
Donner Card ( A ).
2. Soit B l'evénement " Obtenir deux boules rouges et quatre boules jaunes"
Donner Card ( B ).
REP . ATTENTION : REMARQUE PRELIMINAIRE.
• " successivement" signifie qu'il y a un ordre.
On ne considère donc pas des combinaisons.
• " Sans remise" signifie que l'on a des boules différentes.
Chaque fois que l'on réalise l'expérience on a une partie ordonnée
de 6 boules de l'urne.
CHAQUE ISSUE DE L' EXPERIENCE est un ARRANGEMENT DE 6 BOULES
prises parmi les 20 boules de l'urne.
1. Le nombre de "tirages " de 6 boules jaunes successivement
sans remise est : A 15 6 = 3 603 600
Donc il y a 3 603 600 "tirages " de 6 boules
de la même couleur.
Conclusion: Card(A) = 3 603 600 .
2 . Imaginons que les deux boules rouges soient aux deux
premières places puis viennent les boules jaunes.
Schéma: I 5 I 4 I 15 I 14 I 13 I 12 I
R R J J J J
Il y aurait d'après le principe multiplicatif :
( 5 × 4 ) × ( 15 × 14 × 13 ×12 ) possibilités
c-à-d A5 2 × A15 4 = 20 × 32760 possibilités.
MAIS voilà, les deux boules rouges peuvent se trouver
à deux autres places parmi 6 places.
Il y a C6 2 = 15 façons de choisir les deux places
des deux boules rouges.
Il y a donc C6 2 × A5 2 × A15 4 possibilités.
Conclusion : Card( B ) = 982 800
-------------------------------------------------------------------------------- EX. 5 Une urne contient 5 boules rouges et 15 boules jaunes. On tire simultanément 6 boules de l'urne. 1. Soit A l'événement: " Obtenir des boules de la même couleur." Donner Card ( A ). 2. Soit B l'evénement " Obtenir deux boules rouges et quatre boules jaunes" Donner Card ( B ). --------------------------------------------- REP . ( ATTENTION. Il n'y a pas d'ordre dans l'exercice proposé en BTS1A à la différence du sujet proposé en BTS1B ) 1. On a : Card( A ) = C15 6 car il y a chaque fois une combinaison de 6 boules jaune. ( Seule couleur possible puisqu'il n'y a que 5 boules rouges. ) Conclusion ; Card( A ) = 5005 2. On a : Card ( B ) = C15 2 C15 4 = 13 650 Chaque élément de B est la réunion d'une partie de deux boules rouges avec une partie de quatre boules jaunes. Conclusion : Card( B ) =13650