INFO LISTE 2 EX DENOMBREMENTS BTS Nov 08
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EX .1 15 chefs d'état, dans une assemblée , se serrent chacun la main.
Indiquons le nombre de poignées de mains échangées.
Il y a une poignée de mains chaque fois qu'une partie
de deux chefs d'état est considérée.
Il y a donc autant de poignées de mains que de combinaisons de deux
chefs d'état choisis parmi les 15 chefs d'état.
Ainsi il y en a C15 2 = 105
Conclusion: Il y a 105 poignées de mains.
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EX. 2 1. Dénombrons les caractères BRAILLE.
Il y a 6 sommets . Chacun est soit troué , soit non troués à priori.
I 2 I 2 I ... I 2 I 2 I
Cela fait 2 possibilités par sommet.
Au total si l'on acceptait qu'aucun trou soit une possibilité,
il y aurait 216 = 64 possibilités.
Mais on refuse le " Aucun trou".
Il n'y a plus que 216 - 1 = 63 possibilités.
Conclusion Il y a 63 caractères BRAILLE.
2. Dénombrons les caractères BRAILLE avec trois trous seulement.
Pour un tel caractère il faut choisir une partie de 3
sommets parmi les 6 sommets.
Il y en a donc autant que de combinaisons de 3 sommets
choisis parmi les 6 sommets.
Il y en a donc C6 3 = 20.
Conclusion Il y a 20 caractères BRAILLE avec 3 trous.
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EX.3 Le damier comporte 16 cases. On dispose de 4 jetons à placer.
1. Dénombrons les façons de poser ces jetons.
Cela revient à dénombrer les parties de 4 cases dans
un ensemble de 16 cases afin d'y placer les quatre jetons
Il y a donc autant de façons de les placer que de combinaisons
de 4 cases choisies parmi 16 cases.
C'est-à-dire il y en a C16 4 = 1820 façons.
Conclusion Il y a 1820 façons de placer les 4 jetons.
2.Dénombrons les façons de ne pas avoir de jetons dans les diagonales.
Il y a 8 cases disponibles en moins pour poser les 4 jetons.
Ainsi il y a donc autant de façons de les placer hors diagonales
que de combinaisons de 4 cases choisies parmi 8 cases.
C'est-à-dire il y en a C8 4 =70 façons.
Conclusion Il y a 70 façons de placer les 4 jetons hors diagonales.
3.Dénombrons les façons de placer exactement 3 jetons dans une même
diagonale.
• Pour la diagonale montant vers la droite:
Il y a C4 3 façons de choisir 3 cases dans cette diagonale pour y mettre 3 jetons.
Il y a C12 1 façons de choisir 1 cases hors de cette diagonale pour y mettre un jeton.
Donc il y a C4 3 × C12 1 = 48 façons de placer exactement 3 jetons sur cette diagonale
• Pour l'autre diagonale il ya autant de façons.
Au total il a 2 × 48 = 96 façons de choisir exactement 3 jetons dans une même
diagonale.
Conclusion Il y a 96 façons de placer exactement 3 jetons dans une
même diagonale.
4. Dénombrons les façons de placer un et un seul jeton sur
chaque ligne et sur chaque colonne.
Pour la première ligne il y a 4 places possibles .
Pour la deuxième ligne il n'y a plus alors que 3 places possibles .
Pour la troisième ligne il n'y a plus alors que 2 places possibles .
Pour la quatrième ligne il n'y a plus alors que 1 place possible .
Finalement il y a 4 × 3 × 2 × 1 = 4! posibilités .
Conclusion Il y a 24 façons de placer un et un seul jeton
sur chaque et sur chaque colonne.
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EX.4 Une commission de 7 personnes est à nommer parmi 21 personnes dont
12 hommes et 9 femmes.
1. Dénombrons les commissions possibles avec 3 femmes et 4 hommes.
Il y a C12 4 façons de choisir 4 hommes parmi 12 hommes.
Il y a C9 3 façons de choisir 3 femmes parmi 9 femmes.
Donc il y a C12 4 × C9 3 = 41580 façons de former une commission
de ce type.
Conclusion Il y a 41580 façons de former ce type de commission.
2. Dénombrons les commissions où il y a au moins une femme.
Le nombre total de commissions sans exigence est C21 7 .
Le nombre total de commissions sans femme est C12 7 .
donc le nombre de commissions avec au moins une femme est
C21 7 - C12 7 = 115 488
Conclusion Il y a 115 488 commissions avec au moins une femme.
3. Dénombrons les commissions où il n ' y a pas MrTartanpion ni Mme Cake.
• Le nombre total de commissions sans exigence est C21 7 .
• Le nombre total de commissions où Mr Tartanpion et Mme Cake
se retrouvent est : 1 × 1 × C19 5 .
En eff et , en dehors de Mr Tartanpion et Mme Cake il ne reste plus que 5 personnes
à désigner parmi les 19 autres.
Donc il y a C21 7 - 1 × 1 × C19 5 = 104652 commissions où il n'y a pas en même temps
Mr Tartanpion et Mme Cake .
Conclusion Il y a 104652 commissions où MrTartanpion et Mme Cake ne
se trouvent pas en même temps.
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EX. 5 André veut mettre 50 livres sur 3 étagères.
Dénombrons les possibilités.
Faisons un schéma avec 50 cases: I 3 I 3 I 3 I 3 I...... I 3 I
d'après le "principe multiplicatif "on a 350 possibilités.
Conclusion Il y a 350 possibilités.
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EX. 6 L'urne contient 100 boules dont 55 boules noires et 45 boules vertes.
On tire simultanément 10 boules de l'urne au hasard.
1. Trouvons Card( Ω ) où est l'univers des possibles.
Chaque tirage est une ciombinaison de 10 boules choisies
parmi les 100 boules de l'urne.
Il y en donc C100 10 .
Conclusion Card ( Ω ) = C100 10
2. Donnons Card( A ).
A est l'événement :" obtenir 6 boules vertes et 4 boules noires "
Il y a C45 6 parties de 6 boules vertes .
Il y a C55 4 parties de 4 boules noires .
Chaque élément de A est la réunion d'une partie de 6 boules
vertes avec une partie de 4 boules noires.
Il y en a donc C45 6 × C55 4 .
Conclusion Card ( A ) = C45 6 × C55 4
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