INFO TEST BTS 1 26/01/11

               

           TEST SUR LES DENOMBREMENTS        BTS1   26 JANVIER 2011

      EXERCICE 1

                Soit a et b deux réels non nuls quelconques.

            1. Ecrire ( a + b )5     sous une forme développée , ordonnée, réduite.

            2. Sachant que l'on a la formule du Binôme de Newton suivante

  ( a + b )5    = C50  a0 b5  +C51  a b4 +C52  a2 b3 +C53  a3 b2 + C54  a4 b + C55  a5 b0

                  calculer  la somme :  C50  + C51  + C52  + C53  + C54  + C55 

              3. En déduire le nombre de parties d'un ensemble de 5 éléments.

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   Réponse :       1. On a le triangle de Pascal:             1    1

                                                                                     1     2     1

                                                                                     1     3      3       1

                                                                                     1     4       6       4        1

                                                                                     1      5      10      10       5         1

          Conclusion :    ( a + b )5    =   b5  + 5 a b4 + 10 a2 b3 + 10  a3 b2 + 5  a4 b +  a5

                        2.  Pour calculer la somme demandée il suffit de considérer a = b  = 1

         ( a + b )5    = C50  a0 b5  +C51  a b4 +C52  a2 b3 +C53  a3 b2 + C54  a4 b + C55  a5 b0

              devient        (  1 + 1 )5    = C50   + C51  + C52   + C53  + C54  + C55      

               c-à-d           2 5    = C50   + C51  + C52   + C53  + C54  + C55      

                 Conclusion :   C50   + C51  + C52   + C53  + C54  + C55    = 32    

           3.  Un ensemble de n éléments contient   C50   + C51  + C52   + C53  + C54  + C55     .

               Conclusion :  Un ensemble de  n éléments contient  32 parties.

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          EXERCICE 2

                  Soit n un entier naturel non nul.

                  On rappelle la formule 1 + 2 + ....+ n = [( 1 + n ) / 2 ] n

                  Une urne contient :

                                             une boule de numéro 1

                                             deux boules de numéro 2

                                             trois boules de numéro 3

                                              etc  .....................

                                             n boules de numéro n

               1. Combien de boules contient l'urne?

               2. A présent  n = 9.

                   a.  Combien y a- t-il de boules dans l'urne?

                   b. Combien y a-t-il de boules dans l'urne avec un numéro pair?

                      Combien y a-t-il de boules dans l'urne avec un numéro impair

                      strictement supérieur à 5 ?

                   c. On tire 5 boules de l'urne simultanément.

                      Combien y a-t-il de tirages tels que l'on ait

                     deux boules de numéro impair strictement supérieur à 5

                        et  3 boules de numéro pair ?          

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        Réponse:

                   1. L'urne contient  1 + 2 + 3+...+ n boules.

                     Or  1 + 2 + ....+ n = [( 1 + n ) / 2 ] n

                   Conclusion :  L'urne contient   [( 1 + n ) / 2 ] n  boules

                   2.   A présent n = 9

                       a.  Comme   [( 1 + n ) / 2 ] n = [( 1 + 9 ) / 2 ] × 9 = 45

                             on peut dire:

                      Conclusion :  L'urne contient   45  boules

                        b. Faisons l'inventaire des boules avec un numéro pair.

                            2 + 4 + 6 + 8 = 20

                           Conclusion :  L'urne contient   20 boules avec un numéro pair.

                           Faisons l'inventaire des boules avec un numéro impair

                            strictement supérieur à 5.

                                7 + 9 = 16

          Conclusion :  L'urne contient   16 boules avec un numéro impair strictement supérieur  à 5.

                   3.  Il y a   C16 2   × C20 3        tirages avec deux boules qui ont un numéro

                      impair strictement supérieur à 5   et trois boules qui ont un numéro impair.

                         Or   C16 2   × C20 3   =  120 × 1140 = 136800

                       Conclusion : Il y a  136800 tirages possibles de ce type

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          EXERCICE 3                  

                     Une grille de loto dans un pays comporte 49 cases numérotées

                     de 1 à 49.

                     On demande de cocher 7 cases .

                    1. Combien de grilles remplies différentes peut - on obtenir ?

                    2. Combien de grilles différentes remplies avec des nombres    

                         strictement supérieurs à 10 , uniquement , peut-on avoir ?

                    3. Parmi les sept cases cochées par le joueur il y a le numéro

                       complémentaire.

                        En admettant que le joueur a le bon numéro complémentaire ,

                       combien de grilles différentes peut-on avoir ?

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            Réponse:             

        1. Dénombrons les griles remplies possibles du loto.

                           Il y en autant que de combinaisons de 7 cases parmi 49 cases.

                           II y en a donc :   C49 7   = 85 900 584 .

                           Conclusion:    Il y a 85 900 584 grilles différentes remplies.

                     2. Dénombrons les grilles remplies différentes où les cases

                      cochées ne comportent que des nombres strictement supérieur à 10.

                      Il y a 49 - 10 = 39   entiers entre 1 et 49 qui soient

                      strictement supérieur à 10.

                      Nous devons en choisir 7 parmi les 39 possibles.

                       Il y a donc  C39 7      grilles différentes avec 7 nombres

                        strictement supérieur à 10.

                    Conclusion :  Il y a 15 380 937  grilles remplies différentes  de ce type                                   

                      3. On supppose que le joueur a déjà le bon numéro complémentaire.

                           Le nombre de grilles différente ayant déjà ce

                          numéro complémentaire bon est 1 × C48 6  .

                        Conclusion:  Il y a 12 271 512  grilles différentes où le numéro

                         complémentaire est le bon.

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                  EXERCICE 4                 

                      Une grille de loto sportif comporte 13 matchs.

                      Pour chaque match trois propositions sont faites.      

                      L'équipe 1 gagne;   Il y a match nul  ; L'équipe 2 l'emporte.

                      Il faut cocher l'une des trois cases       | 1   |  N  |   2  |       

              1. Combien de grilles différentes de loto sportif peut- on remplir  ?

              2. Combien de grilles différentes de loto sportif peut- on remplir avec

                  seulement les trois premier résultats sportifs exacts?             

              3. Combien de grilles différentes de loto sportif peut- on remplir avec

                  seulement  trois résultats sportifs exacts ?

              4. Combien de grilles différentes de loto sportif peut- on remplir avec

                   au moins 10 résultats sportifs exacts ?

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         Réponse:             Les résultats sont :

                 1. Il y en a:        313  .

                      2.  Il y en a:        13  × 210

                 3.  Il y en a :  C 13 3      13  × 210

                  4.   Il y en a : C 13 10      110  × 23   + C 13 11      111  × 22  +  C 13 12      112  × 2  + 1

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               EXERCICE 5                                

                 On dispose d’un quadrillage régulier dans lequel on a placé les trois points :A , B , C.  

                On admet deux types de déplacement élémentaire autorisés:

                 Déplacement de un carreau vers la droite

                 Déplacement d'un carreau vers le haut. 

                 Un trajet d'un point à un autre est une p liste d'éléments de l'ensemble

                  {   un carreau vers la droite ,  un carreau vers le haut } où p est le nombre de

                 déplacements élémentaires.

           1. Pour aller de A à B combien de déplacements élémentaires sont-ils nécessaires ?

           2. Combien y a-t-il d’itinéraires pour aller de A à C ? de C à B ?

           3. Combien y a-t-il d’itinéraires pour aller de A à B via C ?

                                       

               

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   Réponse:            

1. Pour aller de A à B il a 7 déplacements élémentaires vers la droite et 5

    déplacements élémentaires vers le haut.

     Comme par exemple :  → → → → → → →  ↑ ↑ ↑ ↑ ↑


     Chaque trajet de A à B est une 12 liste avec 7 fois le →  et 5 fois le ↑

     Ainsi il y a    7 + 5 = 12 déplacement élémentaires 

 Conclusion :  Il y a donc 12 déplacements élémentaires pour aller de A à B.

   2.    •De A à C.

         Il y a 5 déplacements élémentaires ordonnés comme :   → → →  ↑ ↑

         Les 3 déplacements élémentaires vers la droite  prennent 3

          places parmi 5 places

         Donc il y a   C5 3     itinéraires de A à C. 

      ( Il faut réserver 3 places pour les trois déplacements vers la droite

       parmi le 5 places des déplacements de A à C. )

    •De C à B .

      Il y a 7 déplacements élémentaires ordonnés comme :   → → → →  ↑ ↑ ↑

      Les 4 déplacements vers la droite prennent 4 place parmi 7 places.

       Donc il y a    C7 4    itinéraires de C à B . 

 ( Il faut réserver réserver 4 places parmi 7 pour les 4 déplacements vers la droite. )

   3. Pour aller de A à B via C:

      Pour avoir le nombre de chemins de A à B via C il suffit

    de multiplier le nombre d'itinéraires de A à C par le nombre d'itinéraires de C à B.

   Finalement  il y a : C5 3    ×   C7 4   trajets de A à B via C.
             

          C5 3    ×   C7 4      =   10 ×35 = 350


          Conclusion : 
                             Il y a 350 trajets de A à B via C.
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