LISTE 2 D'EX. DERIVATION Nov. 08 1S
EX.3 Soit f une fonction définie dans un intervalle I contenant le réel a.
On admet que f est dérivable en a , c-à-d que ( f( a + h ) - f( a) ) / h admet une limite finie
notée f ' ( a ) quand h tend vers 0.
Soit la fonction φ définie pour tout réel h tel que a + h soit dans l'intervalle I
de la façon suivante:
• Si h = 0 alors φ( h ) = 0 .
• Si h ≠ 0 ( avec a + h dans I ) alors φ( h ) = ( f(a + h ) - f( a ) ) / h - f '(a)
1. Que peut-on dire de la limite de φ( h ) quand h tend vers 0?
2. Pour h = 0 a-t-on f( a + h ) = f( a ) + h f '( a ) + h φ( h ) ?
3. Pour h ≠ 0 ( avec a + h dans I ) a-t-on f( a + h ) = f( a ) + h f '( a ) + h φ( h ) ?
4. Conséquence: Peut-on affirmer qu'il existe bien une fonction φ définie au voisinage de 0,
de limite nulle en 0 et telle que pour tout réel h avec a + h dans I on ait :
f( a + h ) = f( a ) + h f '( a ) + h φ( h ) ?
5. Dans l'affirmative peut-on écrire f( a + h ) ≈ f( a ) + h f '( a ) pour le réel h très voisin de 0?
6. Soit dans un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) le point A ( a , f( a ) ).
Soit le point M ( a + h , f( a + h ) ).
Soit le point H( a + h , f( a )) .
Faire le triangle AHM ( pour h strictement positif très proche de 0 ).
a. Montrer qu'une valeur approchée théorique de HM est I h f '( a ) I .
b. Soit T: y = f '( a ) ( x - a ) + f( a ) la tangente à la courbe de f au point A.
Elle coupe la droite ( H M ) en un point N.
Montrer qu'une valeur approchée de NM est I h φ( h ) I .
REP. 1. On peut dire que φ( h ) est de limite nulle quand h tend vers 0.
En effet: Comme f admet un nombre dérivé f '( a ) en a on sait que
( f(a + h ) - f( a ) ) / h tend vers le réel f '( a) quand h tend vers 0.
Ainsi ( f(a + h ) - f( a ) ) / h - f '(a) tend vers f '( a ) - f '( a ) c'est-à-dire 0
quand h tend vers 0.
φ( 0 = 0
Donc φ( h ) est de limite nulle quand h tend vers 0.
2. OUI. En zfet : Pour h = 0 l'égalité f( a + h ) = f( a ) + h f '( a ) + h φ( h )
s'écrit 0 = 0. Ce qui est vrai.
3. OUI. Pour h ≠ 0 ( avec a + h dans I ) on a bien f( a + h ) = f( a ) + h f '( a ) + h φ( h ).
En effet pour h ≠ 0 ( avec a + h dans I ) on a :
φ( h ) = ( f(a + h ) - f( a ) ) / h - f '(a)
c-à-d h φ( h ) = ( f(a + h ) - f( a ) ) - h f '( a ) En multipliant par h.
c-à-d h φ( h ) + h f '( a ) = ( f(a + h ) - f( a ) )
c-à-d h φ( h ) +h f '( a ) + f( a) = ( f(a + h )
L'égalité est bien vraie dans ce cas aussi
4. OUI. On vient dans les trois dernières questions de l'établir.
En effet:
La fonction φ définie dans la première question est définie au voisinage de 0.
Elle est de limite nulle en 0.
De plus que h soit nul ou non mais tel que a + h soit dans I on a bien
l'égalité : f( a + h ) = f( a ) + h f '( a ) + h φ( h ).
5. OUI. En négligeant h φ( h ) dans le membre de droite de l'égalité
f( a + h ) = f( a ) + h f '( a ) + h φ( h ) on peut dire pour tout réel h tel
que a + h soit dans I , f( a + h ) ≈ f( a ) + h f '( a ) .
5. Vect( HM ) a pour coordonnées ( a + h - ( a + h ) , f( a + h ) - f( a ) )
c-à-d ( 0 , h f '( a ) ) environ pour h voisin de 0 tel que a + h soit dans I.
D'où HM est environ I h f ' ( a ) I.
6. Le point N est d'abscisse a + h et est situé sur la droite
T : y = f '( a ) ( x - a ) + f( a ).
Donc l'ordonnée de N est f '( a ) ( a + h - a ) + f( a ) = f '( a ) h + f( a )
On a donc le point N ( a + h , f '( a ) h + f( a ) ).
Ainsi le vecteur vect( NM) a pour coordonnées ( a + h - ( a + h ) , f( a + h ) - ( f '( a ) h + f( a ) ) ,
c-à-d ( 0 , f( a + h ) - f( a ) - f '( a) h ) , c-à-d ( 0 , h φ( h ) )
Donc sa norme NM est I h φ( h ) I .