INFO LISTE 1 EX . DERIV . 1S

 INFO.   LISTE 1   D'EXERCICES SUR LA DERIVATION   1S            NOV.  08

 EX.1          Soit a un réel quelconque. Soit h un réel non nul.

                   Soit la fonction f : x → x²  - 3 x + 1  définie dans IR.

            1. Calculer le taux de variation de f entre les réels a et a + h.

            Réponse:    On a :     ( f( a + h ) - f( a ) ) / h  = ( ( a+ h )² - 3 ( a + h ) + 1 - ( a² - 3 a + 1 ) ) / h

               c-à-d       ( f( a + h ) - f( a ) ) / h  = ( ( a+ h )² - a² - 3 ( a + h  - a )  ) / h

                c-à-d     ( f( a + h ) - f( a ) ) / h  = ( ( a+ h - a ) ( a + h + a )  - 3  h ) / h

                c-à-d    ( f( a + h ) - f( a ) ) / h  = (  h  ( 2 a + h )  - 3 h ) / h  

            2. Trouver la limite de ce taux de variation de f quand h tend vers 0,

                c-à-d  trouver le nombre dérivé de f en a ,  noté f ' ( a ).

                Réponse :    2 a + h - 3   tend vers    2 a - 3  quand h tend vers 0.

                  Donc :      ( f( a + h ) - f( a ) ) / h   tend vers   le réel   2 a - 3 

                                  quand h tend vers 0.

                Ainsi  le nombre dérivé de f en a existe et est :

           3. Soit ( O ; vect(i ) , vect( j ) ) un repère orthonormal du plan.

                Soit ( C ) la courbe de f . Soit le point A(  3 ; 1 ).

              a. Donner la forme canonique de f(x).                

         Réponse :  On a   Δ = b² -  4 a c     et        a = 1    ,  b = - 3   ,     c = 1

                        Donc   Δ = ( - 3 )² - 4 = 5        

                       D'où     a ( x +  b / ( 2 a ) )²  - Δ / ( 4 a ) = ( x -  3 / 2 )²  - 5 / 4

                 Ainsi la forme canonique de f( x) est :  

              b. Tracer la parabole ( C ) .

             (  On placera en particulier les points d'abscisses  - 1 ; 0 ; 1 ; 1,5  ; 2 ; 3 ; 4  )

               Le sommet de la parabole est le point S (  - b / ( 2 a )  ; - Δ / ( 4a )  )

                c-à-d   S( 3 / 2 ; - 5 / 4 ).

              c. Calculer f '( a )  pour a = 3. ( On pourra utiliser la question 2. )

               Réponse : D'après la question 2.  on a :        f ' ( 3 ) = 2 × 3 - 3 = 3

              Le nombre dérivé de f en 3 est 3.

              4. Soit le point M ( 3+ h , f( 3 + h ) ) pour h un réel positif non nul

                   au choix.( proche de zéro )

                  a.Tracer la droite ( MA ).

                       Elle passe par les points A ( 3 ; 1 ) et  M (  3 + h ; f( 3 + h ) ) .

                  b.Quel est le coefficient directeur de la droite ( MA ) ?

                    Réponse :  C'est le quotient  

                                     ( f( 3 + h )  - f ( a ) ) / h  = 2 ×3 + h - 3 = 3 + h

                                       où h est un réel non nul.

                       Le coefficient directeur de la droite ( MA ) est    3 + h

                   c. Que peut-on dire de cette droite ( MA ) quand h tend vers 0 ?

                     Réponse : On peut dire que la droite  ( AM ) tend à devenir

                     la tangente T en  A à la courbe de f  lorsque h tend vers 0.

                   d. Que peut-on dire de son coefficient directeur quand h tend vers 0 ?

                      Réponse :  Le coefficient directeur de la droite ( AM ),

                                       quand h tend vers 0 , tend à devenir 3.

                      En position limite donner l'équation de la droite obtenue.

                       En position limite  la droite obtenue passe par le point A ( 3 ; 1 ) et

                       est de coefficient directeur 3.

                       Donc son équation est  de la forme  y = 3 x + p  avec  1 = 3 ×3 + p

                      D'où  p = - 8 

                      La droite obtenue  en position limite T est donc d'équation  y = 3 x - 8 .

              5. Soit la droite D: y = f '( 3 ) ( x - 3 ) + f( 3 ).

                 a. Ecrire plus simplement l'équation de D.

                    Réponse :         On a :     f '( 3 ) = 3      et     f ( 3 ) = 1

                                     Donc l'équation  y = f '( 3 ) ( x - 3 ) + f( 3 )   s'écrit :

                                         y = 3 ( x - 3 ) + 1 

                                         c-à-d         y = 3 x - 9 + 1 

                                         c-à-d          y = 3 x -  8

                     Que constatez-vous?

                    Réponse : On retrouve l'équation de la tangente T à la courbe f

                    au point d'abscisse 3  c'est- à- dire au point A.

                    Il apparait que  D = T.

                     Donc on peut dire que la tangente  à la courbe de f au point A

                     d'abscisse 3 est    T : y = f '( 3 ) ( x - 3 ) + f( 3 ).

                   b. Tracer D dans le graphique.                 

                       En traçant  la droite D: y = 3 x - 8  on trace la tangente

                      à la courbe de f au point A d'abscisse 3.

EX.2         Trouver pour chaque fonction f  le nombre dérivé en a , noté f '( a )

                  1. Soit f : x→ 1 / x         avec a non nul.

                    La fonction f est définie dans IR^• .

                    Soit h un réel non nul tel que a + h soit dans le même intervalle

                    que a dans  IR^• .

                   Considérons :       f( a + h ) - f( a ) = 1 / ( a + h ) - 1 / a

                                               f( a + h ) - f( a ) =  ( a - ( a + h ) ) / ( ( a + h ) a )

                                               f( a + h ) - f( a )  = - h / ( ( a + h ) a )

                   Donc       ( f( a + h ) - f( a )  ) / h =   - 1 / ( ( a + h ) a )

                                  Quand h tend vers 0 alors  - 1 / ( ( a + h ) a )  tend vers - 1 / a².

                            C'est-à-dire ( f( a + h ) - f( a )  ) / h  tend vers le réel - 1 / a²

                              quand h tend vers 0 .

                Conclusion: 

                       On écrit    f ' : x → - 1 / x²  .

                      C' est la fonction dérivée de f : x → -1 / x   , sur IR^•  .                 

                  2.  Soit  f : x→ x²   .

                    Réponse :   La fonction f est définie dans IR.

                                      Soit h un réel non nul.

                     Considérons  le quotient   ( f( a + h ) - f( a ) ) / h = ( ( a + h )² - a² ) / h

                       RAPPEL:  A² - B² = ( A - B ) ( A + B )

                   Ainsi On a:  

                          ( f( a + h ) - f( a ) ) / h = ( ( a + h  - a ) ( a + h + a ) )/ h  

                   c-à-d            ( f( a + h ) - f( a ) ) / h = ( h ( 2 a + h ) ) / h   = 2 a + h

                  Quand h tend vers 0 ,    2 a + h   tend vers le réel  2 a.

                  Ainsi   ( f( a + h ) - f( a ) ) / h   tend vers le réel  2 a

                 quand on fait tendre h vers 0.

                 Le nombre dérivé de f en a est donc le réel    2 a.

                  On écrit    f ' :  x→  2 x

                 C'est la fonction dérivée de la fonction f : x→ x²   , sur IR.

     3.   Soit  f  : x→ x³  .  

                                  La fonction f est définie dans IR .

                         Soit h un réel non nul.

                          Considérons  le quotient   ( f( a + h ) - f( a ) ) / h = ( ( a + h )³ - a³ ) / h

                            Rappel:  A³ - B³ = ( A - B ) ( A²  + A × B + B² )

                                           ( a + h )³ - a³   = ( a + h - a ) ( ( a + h )² + ( a + h ) × a + a² )

                   Ainsi on a:           ( f( a + h ) - f( a ) ) / h = ( ( a + h  - a ) ( ( a + h )² + (a + h ) × a + a² ) )/ h  

                  4.   Soit f : x → √x     avec a > 0.

                         La fonction f est définie sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [ .

                         On va se situer d'abord dans l'intervalle ouvert  ] 0 , + ∞ [  car il y a

                          un problème en 0 qui ne peut figurer à un dénominateur.

                        Ainsi on considère  a > 0  .

                        Soit h un réel strictement positif . On a    a + h > 0 . 

                          Considérons :le taux :    ( f( a + h ) - f( a ) ) / h = ( √( a + h ) - √a  ) / h

                          ON DECIDE DE MULTIPLIER PAR L'EXPRESSION CONJUGUEE √( a + h ) + √a 

                          LE NUMERATEUR  ET LE DENOMINATEUR.

                         Il vient  :

                       ( f( a + h ) - f( a ) ) / h  = ( ( √( a + h ) - √a  ) ( √( a + h ) + √a  ) ) /  ( h ( √( a + h ) + √a ) )

               c-à-d          ( f( a + h ) - f( a ) ) / h    = ( ( a + h ) - a  ) /  ( h ( √( a + h ) + √a ) )

                c-à-d           ( f( a + h ) - f( a ) ) / h   =  h  /  ( h ( √( a + h ) +√a ) )    = 1 /  ( √( a + h ) + √a ).

                       1 /  ( √( a + h ) + √a )  tend le réel  1 / ( 2 √a ) quand h tend vers 0.

                  Ainsi ( f( a + h ) - f( a ) ) / h   tend vers le réel  1 / ( 2 √a )  quand h tend vers 0.

                           Le nombre dérivé de f en a est le réel  1 / ( 2 √a ) .

                         On écrit  f ' :   x → 1/ ( 2 √x )    sur   l'intervalle ] 0 , + ∞ [   .

                         C'est la fonction dérivée de f sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [   .

                       ATTENTION  Si l'on avait accepté a = 0 , le quotient    1 /  ( √( a + h ) + √a )

                       serait  1 / √  h .  Or     1 / √  h  ne tend pas vers un réel  quand h tend vers 0.

                        ( f( a + h ) - f( a ) ) / h   ne tendrait donc pas vers un réel quand h tend vers 0.

                       IL N'Y A DONC PAS DE NOMBRE DERIVE POUR f EN O.