LISTE 2 D'EXERCICES SUR LA DERIVATION 1S NOV. 08
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
EX .1 1. A l'aide du résultat de cours ,
<< Si u est une fonction définie et dérivable dans un intervalle I
et λ un réel alors la fonction λ u est définie et dérivable dans I et l'on a :
( λ u ) ' = λ u ' sur I . >>
trouver la fonction dérivée f ' de la fonction f : x → 5 x² dans IR .
2. Donner le signe de f '( x ) suivant x dans IR.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
REP. 1. Soit la fonction u: x→ x². Elle est définie et dérivable dans IR. On a : u ' : x→ 2 x.
Or f = 5 u. Donc f est définie et dérivable dans IR. De plus f ' = 5 u ' .
Conclusion: La fonction dérivée de f est f ' : x→ 10 x sur IR .
Attention dans la pratique, par la suite, on mettra directement f ' .
2. Le signe de f '( x ) est celui de x car 10 > 0.
Conclusion: f ' > 0 sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ .
f ' < 0 sur l'intervalle ] - ∞ , 0 [ .
f '( 0 ) = 0.
EX. 2 Soit la fonction f : x → 2 x² + 3 x - 1 .
Soit ( P ) sa courbe dans un repère orthonormal.
1. Donner directement à l'aide du cours ( Leçon 1 ) le tableau de variation de f.
( Rappel : Le sommet de la parabole d'équation y = a x² + b x + c avec a , b , c
des réels et a non nul est le point S ( - b / ( 2 a ) ; - Δ / ( 4 a) ) .
Le signe de a indique la concavité de la parabole. )
2. a. Comme fonction polynôme f définie et dérivable sur IR , donner directement sa fonction dérivée f ' .
b. Donner le signe de f '( x ) suivant x .
c. Quel lien remarquez-vous entre le sens de variation de f et f '( x) ?
3. Donner l'équation réduite de la tangente à ( C ) au point d'abscisse 1.
-----------------------------------------------------------------------------------------------
REP. 1. Tableau de variation de f. a = 2 Donc a > 0 - b / ( 2 a ) = - 3 / 4
Δ = b² - 4 ac c-à-d Δ = 9 + 8 = 17 - Δ / ( 4 a ) = - 17 / 8
| x | - ∞ - 3 / 4 + ∞ |
| f '( x ) | - 0 + |
| f( x ) | ↓ - 17 / 8 ↑ |
2. a. La fonction dérivée de f est : f ' : x → 4 x +3 sur IR.
b. Le signe fe f '( x ) est celui de 4 x + 3.
Conclusion: f ' ( - 3 / 4 ) = 0
f ' ( x ) < 0 sur l'intervalle ] - ∞ , - 3 / 4 [ .
f ' ( x ) > 0 sur l'intervalle ] - 3 / 4 , +∞ [ .
c. En mettant une ligne supplémentaire dans le tableau de variation de f
on voit que :
Conclusion:
f ' =< 0 sur ] - ∞ , - 3 / 4 ] correspond à f décroissante sur ] - ∞ , - 3 / 4 ] .
f ' >= 0 sur [ - 3 / 4 , + ∞ [ correspond à f croissante sur [ - 3 / 4 , + ∞ [ .
( CE PHENOMENE SERA UN RESULTAT DE COURS A RETENIR. )
3. La tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1 passe par le point A ( 1 ; f( 1 ) ) et
est de coefficient directeur f '( 1 ).
Or f( 1 ) = 4 et f '( 1 ) = 7
Conclusion: On a pour son équation : y = 7 x - 3 .
---------------------------------------------------------------------
EX. 3 Le plan est muni d'un repère orthonormal.
1. Donner directement la fonction dérivée f ' de la fonction polynôme f : x → 2 x6 + 3 x4 - 1
qui est définie et dérivable dans IR.
2. Donnner suivant x le signe de f '( x ) .
3. Que peut-on dire de la tangente à la courbe ( C ) de f au point d'abscisses 0 ?
----------------------------------------------------------------------------------------
REP. 1. On a: f ' x → 12 x5 + 12 x3 sur IR comme fonction polynome.
2. Donnons le signe de f ' ( x ).
Soit x dans IR.
On a : f '(x) = 12 x3 ( x2 + 1 ) = 12 x x2 ( x2 + 1 )
Ainsi f '( x ) est donc du signe de x.
Conclusion: f ' > 0 sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ .
f ' < 0 sur l'intervalle ] - ∞ , 0 [ .
f '( 0 ) = 0.
3. Comme f '( 0 = 0 , la tangente T à la courbe de f au point d'abscisse 0
est horizontale c-à-d de coeficient directeur nul.
Conclusion: T a pour équation est y = f ( 0 )
c-à-d y = - 1
EX. 4 A l'aide du résultat de cours:
<< Si u et v sont deux fonctions définies et dérivables dans un intervalle I
alors la fonction u + v est définie et dérivable dans I et l'on a :
( u + v ) ' = u ' + v ' sur I . >>
trouver la fonction dérivée f ' de la fonction f : x → 5 x² - 7 x +3 - 1 / x
sur les deux intervalles de IR* .
REP. Soit les fonctions u : x → 5 x² - 7 x + 3 et v : x → - 1 / x
u est définie et dérivable dans IR.
v est définie et dérivable dans IR*
Comme on a f = u + v , f est définie et dérivable dans IR*
u ' ; x → 10 x - 7 sur IR.
v ' : x → - ( - 1 / x2 ) sur IR* .
On a donc sur IR* , f ' = u ' + v ' .
Conclusion : f ' : x → 10 x - 7 + 1 / x2 sur IR* .
---------------------------------------------------------------------------------
EX. 5 A l'aide du résultat de cours:
<< Si u et v sont deux fonctions définies et dérivables dans un intervalle I alors
la fonction u × v est définie et dérivable dans l'intervalle I et l'on a :
( u × v ) ' = u ' × v + u × v ' sur I >>
Trouver la fonction dérivée f ' de la fonction f : x → ( x² + 1 ) ( 1 + 1 / x ) dans les
intervalles de IR* .
REP. Soit les fonctions u : x → x² + 1 et v : x → 1 + 1 / x .
Les deux fonctions u et v sont définies et dérivables dans IR* .
Comme f = u v , on a f qui est définie et dérivable dans IR* .
On a : u : x → 2 x et v ' : x → - 1 / x2
Donc f ' : x → 2 x ( 1 + 1 / x ) + ( x² + 1 ) ( - 1 / x2 )
Mais 2 x ( 1 + 1 / x ) + ( x² + 1 ) ( - 1 / x2 ) = 2 x + 2 - ( x² + 1 ) / x2
c-à-d f '( x ) = 2 x + 1 - 1 / x2 pour x dans IR* .
Conclusion : f ' : x → 2 x + 1 - 1 / x2
EX.6 1. A l'aide du résultat de cours ,
<< Si u et v sont deux fonctions définies et dérivables dans un intervalle I et v non nulle sur I
alors la fonction u / v est définie et dérivable dans l'intervalle I et l'on a :
( u / v ) ' = ( v × u ' - u × v ' ) / v² sur I >> ,
trouver la fonction dérivée f ' de la fonction f : x → ( x + 1 ) / ( 3 x - 2 )
sur les intervalles ] - ∞ , 2 / 3 [ et ] 2/ 3 , + ∞ [ .
2. Donner le signe de f '( x ) suivant x dans ] - ∞ , 2 / 3 [ U ] 2/ 3 , + ∞ [ .
REP. 1. On pose u ; x → x + 1 et v : x → 3 x - 2
u et v sont définies et dérivables dans IR.
v est non nulle dans IR - { 2 / 3 }.
Or f = u / v .
Donc f est définie et dérivable dans IR - { 2 / 3 }.
u ' : x → 1 et v ' : x → 3
Soit x dans IR - { 2 / 3 }.
f '( x ) = ( ( 3 x - 2 ) ( 1 ) - ( x + 1 ) ( 3 ) ) /( 3 x - 2 )² = ( 3 x - 2 - 3x - 3 ) / ( 3 x - 2 )²
c-à-d f '(x ) = - 5 / ( 3 x - 2 )²
Conclusion:
f ' x → - 5 / ( 3 x - 2 )² sur IR - { 2 / 3 }.
2. Il est immédiat que f ' < 0 sur IR - { 2 / 3 }.
EX. 7 1. A l'aide du résultat de cours ,
<< Si u et v sont deux fonctions définies et dérivables dans un intervalle I et v non nulle sur I
alors la fonction u / v est définie et dérivable dans l'intervalle I et l'on a :
( u / v ) ' = ( v × u ' - u × v ' ) / v² sur I >> ,
trouver la fonction dérivée f ' de la fonction f : x → ( x² + 1 ) / ( 2 x - 1 )
sur les intervalles ] - ∞ , 1 / 2 [ et ] 1/ 2 , + ∞ [ .
2. Donner le signe de f '( x ) suivant x dans ] - ∞ , 1 / 2 [ U ] 1/ 2 , + ∞ [ .
REP. 1. Soit les fonctions u : x→ x² + 1 et v :x → 2 x - 1.
u et v sont définies et dérivables dans IR.
v est non nulle dans IR - { 1 / 2 }.
Or f = u / v .
Ainsi la fonction f est bien définie et dérivable dans IR - { 1 / 2 } .
On a u ' : x → 2 x et v ' : x → 2
Soit x dans IR - { 1 / 2} .
On a : f '( x ) = ( ( 2 x - 1 ) ( 2 x ) - ( x² + 1 ) ( 2 ) ) / ( 2 x - 1 )²
c-à-d f ' ( x ) = ( 4 x² - 2 x - 2 x² - 2 ) / ( 2 x - 1 )²
c-à-d f ' ( x ) = ( 2 x² - 2 x - 2 ) / ( 2 x - 1 )²
Conclusion: f ' : x → ( 2 ( x² - x - 1 ) ) / ( 2 x - 1)² sur IR - { 1 / 2 }
2. Le signe de f '(x ) sur IR - { 1 / 2 } est celui de x² - x - 1 .
Δ = b² - 4 ac c-à-d Δ = 1 - 4( 1 )( - 1 ) = 5 Δ > 0
Les racines distinctes sont: (- b - √Δ ) / ( 2 a ) = ( 1 - √5 ) / 2
et ( - b + √Δ ) / ( 2 a ) = ( 1 + √5 ) / 2.
D'après la règle des signes d'un trinome du second degré on a.
| x | - ∞ ( 1 - √5 ) / 2 1 / 2 ( 1 + √5 ) / 2 + ∞ |
| f '( x ) | + 0 - ¦¦ - 0 + |
EX.8 Soit la fonction f définie dans IR- { - 1 ] par
f( x ) = ( a x² + b ) / ( x + c ) où a , b , c sont des réels.
On suppose que f '( 0 ) = - 3 et f( 1 ) = 2.
1. Que vaut c ?
2. Trouver f '(x ) pour tout x distinct de - 1.
3. Trouver b sachant que f '( 0 ) = - 3 .
4. Trouver a sachant que f( 1 ) = 2 .
REP . 1. f n'est pas définie quand x = - 1 c-à-d x + c = 0 quand x = -1 .
Donc c = 1
Ainsi f( x ) = ( a x² + b ) / ( x + 1 ) sur IR - { - 1 }.
2. Soit u : x → a x² + b et v : x → x + 1.
u et v sont définies et dérivables dans IR.
v est non nulle dans IR - { - 1 }.
Comme f = u / v , f est définie et dérivable dans IR - { - 1 }.
u' : x → 2 ax et v' : x → 1
Pour tout x dans IR - { - 1 } on a :
f '( x ) = ( ( x + 1 ) ( 2ax ) - (a x² +b )(1 ) ) / ( x + 1)²
On a f ' ( x ) = ( a x² + 2 a x - b ) / ( x + 1 )² pour tout
x dans IR - { - 1 }.
3. Donc f '( 0 ) = - b Or f '( 0 ) = - 3
D'où b = 3 .
4. Comme f( 1 ) = 2 on a (a 1² +3 ) / ( 1 + 1 ) = 2
D'où a + 3 = 4
c-à-d a = 1
Conclusion: f( x ) = (x² + 3) / ( x + 1 )