INFO . LISTE 4 EX.6 DERIVATION. 1S DEC. 08
EX. 6 Donner les domaines de définition , dérivabilité
de la fonction h et la fonction dérivée h '.
h : x → ( - x² + 5 x + 2 ) / ( x2 + 3 x + 2 )
REP. 1 x2 + 3 x + 2 = 0 admet - 1 comme racine évidente .
En effet: ( - 1)2 + 3 ( - 1 ) + 2 = 0
( On pouvait aussi dire : La somme des coefficient des termes de rang pair
est égale à la somme des coefficient des termes de rang impair.
c-à-d ici 1 + 2 = 3 )
L'autre racine est donc - c / a = - 2 / 1 = - 2
Ainsi la fonction rationnelle h est définie dans IR - { - 1 ; - 2 }.
Elle est donc dérivable aussi dans IR - { - 1 ; - 2 }.
( Une fonction rationnelle est un quotient de deux fonctions polynômes.
Toute fonction rationnelle est dérivable dans son domaine de définition. )
Par division on obtient h( x ) = - 1 + 4 ( ( 2 x +1 ) / ( x2 + 3 x + 2 )
pour tout x dans IR - { - 1 ; - 2 }.
Cela permet de dériver plus facilement. ( Ce n'est pas obligatoire.)
Soit les fonctions u : x → 2 x +1 et v : x → x2 + 3 x + 2 .
h = - 1 + 4 ( u / v )
Les fonctions u et v sont définies et dérivables dans IR .
u ' : x → 2 et v ' : x→ 2 x + 3 .
v est non nulle dans IR - { - 1 ; - 2 }.
La fonction u / v est définie et dérivable dans IR - { - 1 ; - 2 }.
Il en est de même pour la fonction - 1 + 4 ( u / v ) c-à-d pour h .
On a : h ' = 4 ( u / v ) ' = 4 ( v u ' - u v ' ) / v²
Soit x dans IR - { - 1 ; - 2 }.
On a : h '( x ) = 4 ( ( x2 + 3 x + 2 ) ( 2 ) - ( 2 x +1 ) ( 2 x + 3 ) ) / ( x2 + 3 x + 2 )²
c-à-d h '(x) = 4 ( - 2 x² - 2 x + 1 ) / ( x2 + 3 x + 2 )²
Conclusion: Dh = IR - { - 1 ; - 2 } Dd = IR - { - 1 ; - 2 }
h ' : x → 4 ( - 2 x² - 2 x + 1 ) / ( x2 + 3 x + 2 )²