INFO LISTE n° 4 D'EX . SUR LA DERIVATION Déc. 08
EX.1 La fonction f : x → ( 2 x - 1 ) / 3 + 3 / ( 2 x - 1 )
Donnons Df = IR - { 1 / 2 } Dd = IR - { 1 / 2 }
et f ' .
On a : f : x → ( 2 / 3 ) x - ( 1/ 3 ) + 3 ( 1 / ( 2 x - 1 ) )
Soit les fonctions u :→ ( 2 / 3 ) x - 1/ 3
v : x → 2 x - 1
On a: f = u + 3 ( 1 / v ) sur IR - { 1 / 2 }.
La fonction affine u est définie et dérivable sur IR.
La fonction affine v est définie et dérivable dans IR
et est non nulle dans IR - { 1 / 2 }.
La fonction 1 / v est donc définie et dérivable dans IR - { 1 / 2 }.
( 1 / v ) ' = - v ' / v².
Ainsi la fonction f est définie et dérivable dans IR - { 1 / 2 } comme
somme de fonctions définies et dérivables dans IR - { 1 / 2 }.
De plus on a : f ' = u ' + 3 ( - v ' / v² ).
Mais u ' : x → ( 2 / 3 )
et v ' : x → 2
Soit x dans IR - { 1 / 2 }.
On a : f '( x ) = 2 / 3 + 3 ( - 2 / ( 2 x - 1 )² )
c-à-d f '( x ) = 2 / 3 - 6 / ( 2 x - 1 )²
Conclusion: Df = IR - { 1 / 2 } Dd = IR - { 1 / 2 }
et f ' : → 2 / 3 - 6 / ( 2 x - 1 )² .
EX.2 Même question que dans l'exercice précédent avec la fonction
g : x → 3 x - 4 - 5 / ( 3 x - 1 )
Soit les fonctions u :→ 3 x - 4
v : x → 3 x - 1
On a: g = u - 5 ( 1 / v ) sur IR - { 1 / 3 }.
La fonction affine u est définie et dérivable sur IR. La fonction affine v est définie et dérivable dans IR et est non nulle dans IR - { 1 / 3 }. La fonction 1 / v est donc définie et dérivable dans IR - { 1 / 3 }. ( 1 / v ) ' = - v ' / v² Ainsi la fonction g est définie et dérivable dans IR - { 1 / 2 } comme somme de fonctions définies et dérivables dans IR - { 1 / 3 }. De plus on a : g ' = u ' - 5 ( - v ' / v² ). Mais u ' : x → 3 et v ' : x → 3 Soit x dans IR - { 1 / 3 }. On a : g '( x ) = 3 - 5 ( - 3 / ( 3 x - 1 )² ) c-à-d g'( x ) = 3 + 15 / ( 3 x - 1 )² Conclusion: Dg = IR - { 1 / 3 } Dd = IR - { 1 / 3 } et g ' : → 3 + 15 / ( 3 x - 1 )²
EX.3 Même question avec la fonction f : x → ( ( 2 x - 1 ) / ( x - 1 ) )²
On peut à l'aide de la division établir que :
( 2 x - 1 ) / x - 1 ) = 2 + 1 / ( x - 1 ) pour tout x dans IR - { 1 }.
| 2 x - 1 | ¦x - 1 |
| - ( 2 x - 2 ) | ¦2 |
| 1 |
Soit u : x→ x - 1.
On a f = ( 2 + 1 / u ) ².
La fonction u est définie et dérivable dans IR.
u' : x → 1
u est non nulle dans IR - { 1 }.
La fonction 1 / u est définie et dérivable dans IR - { 1 }.
( 1 : u ) ' = - u ' / u²
C'est aussi le cas de la fonction 2 + 1 / u
( 2 + 1 / u ) ' = ( 1 / u ) ' = - u ' / u²
f , comme carré d'une fonction définie et dérivable dans IR - { 1 } ,
est définie et dérivable dans IR - { 1 }.
On a : f ' = 2 ( 2 + 1 / u ) ( 2 + 1 / u ) '
Donc f ' = 2 ( 2 + 1 / u ) ( - u ' / u² )
On a : f ' : x → 2 ( 2 + 1 / ( x - 1 ) ) ( - 1 / ( x - 1 )² )
Conclusion: Df = IR - { 1 } Dd = IR - { 1 }
et f ' : → 2 ( 2 + 1 / ( x - 1 ) ) ( - 1 / ( x - 1 )² )
EX.4 Même question avec la fonction g : x → 1 / √x - 1 / ( 2 x ).
On a : g : x → 1 / √x - ( 1 / 2 ) ( 1 / x ) .
Soit les fonctions u : x → √x et v : x → 1/ x .
u et v sont définies , dérivables dans IR+ • .
u est non nulle dans IR+ • .
On a g = 1 / u - ( 1 / 2 ) v .
Donc g est définie et dérivable dans IR+ • .
On a : ( 1 / u ) ' = - u ' / u²
avec u ' : x → 1/ ( 2 √x )
g ' : → ( - 1 / ( 2√x ) ) / ( √x )² - ( 1 / 2 ) ( - 1 / x² )
c-à-d g ' : → - 1 / ( 2 x √x ) + 1 / ( 2 x² )
Conclusion: Dg = IR+ • Dd = IR+ •
et g ' : → - 1 / ( 2 x √x ) + 1 / ( 2 x² )
EX.5 Même question avec la fonction h : x → ( ( x - 2 ) / ( x + 1 ) ) √x
La fonction h est un produit de deux fonctions:
w : x → ( x - 2 ) / ( x + 1 ) k : x → √x
Or la fonction rationnelle w est définie et dérivable dans IR- { - 1 }
et la fonction k est définie dans IR+ et dérivable dans IR+ • .
Ainsi la fonction h , c-à-d w k , est définie dans IR+ et
dérivable dans IR+ • .
On a : ( w k ) ' = w ' k + w k '
avec k ' ; x → 1 / ( 2 √x )
w = u / v avec u : x → x - 2 et v : x → x + 1
w ' = ( v u ' - u v ' ) / v²
On a : u : x → 1 et v : x → 1
Soit x dans IR+ • .
On a: w ' ( x ) = ( ( x + 1 )( 1 ) - ( x - 2 ) ( 1 ) ) / ( x + 1 )²
c-à-d w '( x ) = ( x + 1 - x + 2 ) / ( x + 1 )²
c-à-d w ' (x ) = 3 / ( x + 1 )²
D'où finalement:
h ' : x → ( 3 / ( x + 1 )² ) √x + ( ( x - 2 ) / ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 √x ) )
Conclusion ; Dh = IR+ Dd = IR+ •
h' : x → ( 3 / ( x + 1 )² ) √x + ( ( x - 2 ) / ( x + 1 ) ) ( 1 / ( 2 √x ) )