DV n°5 13 DECEMBRE 08 1S1 LISTE 5 D'EX SUR LA DERIVATION
EX.3 Soit la fonction f: x → cos ( 5 x + 2 ) définie dans IR.
1. Trouver sur IR la fonction dérivée f 'de f.
2. Montrer que f ( x + (2π) / 5 ) = f( x ) pour tout x dans IR.
( On pourra utiliser le résultat cité dans l'exercice précédent.
On a admis que cos ' = - sin sur IR . )
REP . 1. La fonction cos est définie et dérivable dans IR.
{ x dans IR / 5 x + 2 soit dans IR } = IR
Ainsi la fonction f est définie et dérivable dans IR.
De plus : f ' : x → 5 cos ' ( 5 x + 2 )
c-à-d f ' : x → 5 ( - sin ( 5 x + 2 ) ) sachant cos ' = - sin sur IR .
Conclusion: Df = IR Dd = IR
f ' : x → - 5 sin ( 5 x + 2 ) sur IR.
2. Soit x dans IR .
f ( x + ( 2 π ) / 5 ) = cos ( 5 ( x + ( 2 π ) / 5 ) + 2 )
c-à-d f ( x + ( 2 π ) / 5 ) = cos ( 5 x + 2 π + 2 )
c-à-d f ( x + ( 2 π ) / 5 ) = cos ( 5 x + 2 + 2 π ) ( 1 )
Mais cos( X + 2 π ) = cos ( X ) pour tout X dans IR.
( La fonction cos étant périodique de période 2 π .)
Ainsi cos ( 5 x + 2 + 2 π ) = cos ( 5 x + 2 ) = f( x )
D'où ( 1 ) s'écrit :
Conclusion : f ( x + ( 2 π ) / 5 ) = f ( x ) pour tout x dans IR.
La fonction f , définie sur IR , est péroidique de période ( 2 π ) / 5 .
( De façon systématique la fonction g : x → cos ( ω x + φ )
est périodique de période ( 2 π ) / ω )
EX. 5 Soit la fonction f : x → ( x + 1 ) / ( x² + x + 1 ) définie sur IR.
1. Montrer que f est définie et dérivable dans IR et que la
fonction dérivée f ' de f est : f ' : x → - x ( x + 2 ) / ( x² + x + 1 ) ² .
2. Donner le sens de variation de f .
3. Soit ( C ) la courbe de f dans une repère orthonormal du plan.
Donner les équations des tangentes à ( C ) aux points d'abscisses - 2 et 0.
REP. 1. Remarquons d'abord que x² + x + 1 ≠ 0 pour tout x dans IR.
En effet : Δ = b² - 4 ac
c-à-d Δ = 1² - 4 ( 1 ) ( 1 ) = - 3
Donc : Δ < 0
Ainsi il n'y a pas de racine dans IR pour x² + x + 1 .
Soit les fonctions : u : x → x + 1
v : x → x² + x + 1
Les fonctions u et v sont définies et dérivables dans IR.
La fonction v est non nulle dans IR.
f = u / v
Ainsi la fonction u / v , c-à-d f , est définie et dérivable dans IR.
On a : f ' = ( u / v ) ' = ( v u ' - u v ' ) / v²
On a : u : x → 1 et v ' : x → 2 x + 1
Soit x dans IR.
On a:
f '( x ) = ( ( x² + x + 1 ) 1 - ( x + 1 ) ( 2 x + 1 ) ) / ( x² + x + 1 )²
c-à-d f '( x ) = ( x² + x + 1 - ( 2 x² + 3 x + 1 ) ) / ( x² + x + 1 )²
c-à-d f '( x ) = ( ( x² + x + 1 - 2 x² - 3 x - 1 ) / ( x² + x + 1 )²
c-à-d f '( x ) = ( - x² - 2 x ) / ( x² + x + 1 )²
c-à-d f '( x ) = - x ( x + 2 ) / ( x² + x + 1 )²
Conclusion: Df = IR Dd = IR
f ' : x → - x ( x + 2 ) / ( x² + x + 1 )²
2. Pour avoir le sens de variation de f cherchons le signe de f '( x ).
Comme ( x² + x + 1 ) ² > 0 pour tout réel x , f '( x ) est du signe
de - x ( x + 2 ) pour tout x dans IR.
Or le trinome du second degré - x ( x + 2 ) s'annule en x = - 2
et x = 0.
A l'extérieur des racines il est du signe de a = - 1 donc négatif.
Entre les racines il est du signe de - a donc positif.
Conclusion:
x
- ∞ - 2 0 + ∞
f ' ( x )
- 0 + 0 -
f ( x )
↓ - 1 / 3 ↑ 1 ↓
3. Donnons les équations des deux tangentes demandées.
Comme f ' ( - 2 ) = 0 et f '( 0 ) = 0 les tangentes à ( C ) aux points
d'abscisses - 2 e t 0 sont hrizontales.
L'équation de la tangente à ( C ) au point d'abscisse - 2 est y = f( - 2 )
c-à-d y = - 1 / 3
L'équation de la tangente à ( C ) au point d'abscisse 0 est y = f( 0 )
c-à-d y = 1
Conclusion: La tangente à ( C ) au point d'abscisse - 2 est d'équation y = - 1 / 3
La tangente à ( C ) au point d'abscisse 0 est d'équation y = 1
EX . 6. Reprendre la fonction f de l'exercice n ° 5 .
Dire où elle admet des extrémums relatifs.
REP. Il apparait que f '( x ) s'annule en changeant de signe en
x = - 2 et en x = 0.
Ainsi f admet deux extrémums en x = - 2 et en x = 0.
• Comme f ' ( x ) < 0 pour x < - 2
puis f ' ( x ) > 0 pour - 2 < x < 0
f admet un minimum relatif en x = - 2 .
Ce minimum relatif est f( - 2 ) = - 1 / 3
• Comme f ' ( x ) > 0 pour - 2 < x < 0
puis f '( x) < 0 pour x > 0
f admet un maximum relatif en x = 0 .
Ce maximum relatif est f( 0 ) = 1
Conclusion: f admet un minimum relatif en x = - 2 .
f admet un maximum relatif en x = 0 .