LISTE 5 D'EX. DERIVATION 1S Déc. 08
DEVOIR n° 5 . Rédiger sur le cahier les exercices 3; 5 ; 6 ; 7 pour le samedi 13 déc.
EX.1 Soit l'équation x3 - 2 x - 5 = 0 notée ( 1 ).
On considère la fonction f : x → x3 - 2 x - 5 .
1. A l'aide de la calculatrice faire apparaitre à l'écran la courbe ( C ) de f.
( On prendra - 5 < x < 5 et - 7 < y < 7 )
On ne demande pas de la mettre sur papier.
2. La courbe ( C ) de f semble ne couper l'axe des abscisses qu'en un seul point A
dont l'abscisse est α.
Donner une valeur approchée entière de α .
3. Donner sur IR le sens de variation de f.
( On pourra utiliser le signe de la fonction dérivée f ' de f . )
4. On admet le résultat de cours suivant:
" Soit u une fonction définie et dérivable dans l'intervalle [ a , b ] et
strictement monotone sur [ a , b ] .( c-à-d strictement croissante ou
strictement décroissante sur [ a , b ] . )
Si u( a ) × u( b ) < 0 alors l'équation u( x ) = 0 admet une unique solution
dans l'intervalle ] a , b [ . "
a. Prouver que l' équation ( 1 ) admet une unique solution α dans l'intervalle
] 2 ; 2, 1 [ .
b.Montrer que f( 2,094 ) × f( 2,095 ) < 0. Que peut-on en conclure pour α ?
EX.2 Soit la fonction f : x→ √( 5 x + 2 ) définie dans l'intervalle [ - 2 / 5 ; + ∞ [.
1. Trouver sur l'intervalle ] - 2 / 5 ; + ∞ [ la fonction dérivée f ' de f.
2. Donner le sens de variation de f sur l'intervalle ] - 2 / 5 ; + ∞ [ .
( On admettra pour des raisons de " continuité " que c'est le même
sens de variation sur l'intervalle [ - 2 / 5 ; + ∞ [. )
On pourra utiliser le résultat de cours suivant:
<< Soit u une fonction définie et dérivable dans un intervalle I.
Soit a et b deux réels.
Alors la fonction f : x → u( ax + b ) est définie et dérivable
en tout réel x tel que a x + b soit dans I et l' on a : f ' : x → a u'( ax + b ) . >>
EX.3 Soit la fonction f : x→ cos ( 5 x + 2 ) définie dans IR.
1. Trouver sur IR la fonction dérivée f ' de f.
2. Montrer que f( x + ( 2 π) / 5 ) = f (x ) pour tout x dans IR .
( On dit que f est de période ( 2 π) / 5 .)
( On pourra utiliser le résultat cité dans l'exercice prédédent.
On a admis que cos ' = - sin sur IR . )
EX. 4 ( Falcultatif. Niveau terminale sur la dérivation de la composée de deux fonctions .)
On pourra utiliser le futur résultat suivant:
<< Soit u une fonction définie et dérivable dans l'intervalle I
à valeurs dans l'intervalle J.
Soit v une fonction définie et dérivable dans l'intervalle J .
Alors la fonction composée v ο u est définie et dérivable dans l'intervalle I.
De plus ( v ο u ) ' = u ' × v ' ο u sur I . >>
Soit la fonctions f : x → cos( 5 x3 - 15 x +1 ) définie dans IR.
A l'aide du résultat futur cité plus haut montrer que :
1. La fonction f est définie et dérivable dans IR.
2. La fonction dérivée est :
f ' : x → 15 ( 1 - x2 ) sin ( 5 x3 - 15 x +1 ) sur IR.
EX. 5 Soit la fonction f : x → ( x + 1 ) / ( x² + x + 1 ) définie dans IR.
1. Montrer que f est définie et dérivable dans IR et la fonction dérivée f ' de f
est f ' : x → - x ( x + 2 ) / ( x² + x + 1 )2 .
2. Donner le sens de variation de f.
3. Soit ( C ) la courbe de f dans un repère orthonormal du plan.
Donner les équations des tangentes à ( C ) aux points d'abscisses - 2 et 0 .
EX.6 On pourra utiliser le résultat de cours suivant:
<< Soit u une fonction définie et dérivable dans un intervalle I.
Soit a dans I distinct des extrémités de I.
Si u ' ( x ) s'annule en x = a en changeant de signe alors u admet un
maximum ou un minimum au voisinage de a. ( c-à-d des extrémums relatifs . ) >>
Reprendre la fonction f de l'exercice n° 5.
Dire où elle admet des extrémums relatifs.
EX. 7 Soit ABCD un carré direct de côté de longueur 1. Soit x un réel positif.
Soit E un point tel que A soit le barycentre des points pondérés ( D , x ) et ( E , 1 ).
Soit F un point sur le segment [ DC ] ( voir figure FC = AE ).
La droite (F E ) coupe la droite ( AB ) en un point I
1. a. Montrer que AE = x.
b. Etablir que AI = ( x - x² ) / ( x + 1 ) .
2. Pour quelle position du point E a-t-on AI maximale?
3. Trouver l'aire a( x ) du triangle AIE.
4. Pour quelle position de E cette aire est-elle maximale?