INFO DS n° 4 TS2 17/12/11

                    INFO  DEVOIR SURVEILLE     TS2       Samedi 17 décembre 2011

   EXERCICE DE BAC  de  JUIN 2010 

        On considère la fonction f définie sur IR par:

                                 f( x ) = x e^x  / ( e^x - 1 )      si   x ≠ 0

                                 f( 0 ) = 1

     On note ( C ) la courbe représentative de f dans un orthonormal

      ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) .

          1. a Déterminer la limite de f en - ∞ .

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       Réponse :

              •  f est définie dans l'intervalle ] - ∞ , + ∞ [ .

                - ∞ est une extrémité de l'intervalle de définition.

                On peut donc faire la recherche.

               •  D'après le cours :        lim x e^x   = 0

                                                      x → -  ∞

                                      et            lim  e^x   = 0

                                                      x → - ∞

                 Ainsi      lim [ x e^x    / ( e^x - 1 )  ] = 0 / ( 0 - 1 ) = 0

                                x → - ∞

          Conclusion :    lim f  = 0

                                 - ∞

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            b. Etablir que , pour tout nombre réel x non nul , on a :

               f( x ) = x ( 1 + 1 /( e^x - 1 )  )

              En déduire la limite de f en + ∞.

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  Réponse:

     • Soit  x dans IR*.

       On a :    f( x ) = x e^x    / ( e^x - 1 )

      c-à-d  

                    f( x ) = x [   e^x    / ( e^x - 1 ) ]

    c-à-d 

                   f( x ) = x [ (  e^x   - 1 + 1 )  / ( e^x - 1 )  ]

  c-à-d    

                  f( x )   = x [  ( e^x  - 1 )  / ( e^x - 1 )  +  1 / ( e^x - 1 ) ]

    c-à-d  

                      f( x ) = x [ 1 + 1 / ( e^x - 1 ) ]

            Conclusion : On a bien l'égalité.

            • On sait d'après le cours :    lim e^x = + ∞  

                                                           x → + ∞

               Donc   lim   [ 1 + 1 / ( e^x - 1 ) ]  = 1 +  1 / ( + ∞ ) = 1 + 0  = 1

                          x → + ∞

              D'où       lim x [ 1 + 1 / ( e^x - 1 ) ]  =  ( + ∞ ) ×  1 =  + ∞

                            x → + ∞

          Conclusion :   lim f( x ) = + ∞ 

                                x → + ∞

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  2. Donner sans démontrer , la limite suivante lim ( e^x - 1 ) / x

                                                                                 x → 0

           et démontrer que f est continue en 0.

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  Réponse :

            D'après le cours :

                                          lim ( e^x - 1 ) / x = 1

                                           x → 0

           Cette limite est doncdirectement utilisable.

          On a pout tout x dans IR* 

                      f( x ) = x e^x    / ( e^x - 1 )  

  c-à-d      en divisant le numérateur et le dénominateur par x

                   f( x ) = e ^x     /   [ ( e^x - 1 ) / x  ]       

              Passons à la limite

              lim  e ^x   /   [ ( e^x - 1 ) / x  ]    =  e⁰  / 1  = 1 / 1  = 1

              x → 0

      c-à-d      lim f( x ) = 1 = f( 0 )

                      x → 0

        Conclusion :    lim f = f( 0 )

                                x → 0

               f est continue en 0

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    3. a. Démontrer que, pour tout nombre réel x , on a e^x ≥ x + 1 et

            que l'égalité n'a lieu que pour x = 0

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    Réponse:

         C'est en fait un ROC sans le dire .

         Cela a été démontré dans le cours .

        Il suffit d'étudier la fonction auxiliaire Ψ: x → e^x - x - 1

     et d'établir qu'elle est positive sur IR en montrant que son minimum est 1.

                Ψ est définie et dérivable dans IR comme somme de telles fonctions.

                       x   → e^x           et        x   →  - x - 1

             On a :          Ψ ' : x  → e^x - 1 

     c-à-d    

                                   Ψ ' : x  → e^x -  e⁰

     Ainsi :                 Ψ ' (  x ) = 0    ssi     e^x =  e⁰
      c-à-d                  Ψ ' (  x ) = 0    ssi    x = 0

    De plus                Ψ ' (  x ) > 0    ssi     e^x >  e⁰ 

      c-à-d                 Ψ ' (  x ) > 0    ssi   x > 0  

      Donc                Ψ ' (  x ) < 0    ssi      x < 0

                     Ψ admet un minimum qui vaut 1 en x = 0

    Conclusion : Ainsi l'égalité e^x  ≥ x + 1   n'a lieu que pour x = 0  

   On a :      Ψ ≥ 0 sur IR

  c-à-d 

                 e^x - x - 1 ≥ 0  pour tout x dans IR

 c-à-d         e^x ≥  x + 1  pour tout x dans IR

    Donc:                             

       Conclusion:  e^x  ≥ x + 1 pour tout réel x.

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     b. Calculer la dérivée f ' de la fonction f et déterminer la fonction g

         telle que , pour tout réel x non nul , f '( x ) = e^x g( x ) / ( e^x - 1 )²    .

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   Réponse:

       Soit les fonctions    u: x   →  x e^x               et    v :  x → e^x   - 1

       On a : f = u / v

         Or u et v sont définies et dérivables dans IR.

          v est non nulle dans IR*.

         Donc f est  définie et dérivable dans IR*.

          De plus:        f ' = ( u / v ) ' = ( v u ' - u v ' ) / v² 

          On a :  u ' : x →   e^x  +  x  e^x        v ' : x →   e^x  

          Soit x dans IR* .

                f ' ( x ) = (  ( e^x   - 1  ) ×( e^x  +  x  e^x  ) - x e^x  × ( e^x    ) ) /  ( e^x   - 1  )²    

    c-à-d

                 f '( x ) = e^x   × [ ( e^x   - 1  )× (1 + x ) - x  e^x   ] / ( e^x   - 1  )²    

   c-à-d  

               f ' ( x ) =   e^x    [  e^x   - 1  +  x e^x   - x  - x  e^x   ] / ( e^x   - 1  )²    

 c-à-d   

              f '( x ) = e^x    (  e^x   - 1 - x  ) / ( e^x   - 1  )²    

              Posons:      g( x ) = e^x   - 1 - x

           On a :   f '( x ) = e^x g( x ) / ( e^x - 1 )²   

            Conclusion :  f ' ( x ) = e^x g( x ) / ( e^x - 1 )²       pour tout x dans IR*.

                                  avec    g (  x ) = e^x   - 1 - x

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    c. Donner le tableau de variation de la fonction f.

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    Réponse:

      Comme exp > 0 sur IR*    et   ( e^x - 1 )²  > 0 pour tout x dans IR* ,

            f ' ( x ) est du signe de g( x ) 

   c-à-d    

         f '( x ) est   du signe de e^x   - 1 - x .

  Or  

    e^x  >  1 + x  pour tout x dans IR*  et  e^x  =  1 + x  pour x = 0

   c-à-d  

     e^x   - 1 - x  > 0  pour tout x dans IR*   et  e^x   - 1 - x  = 0  pour x = 0

  Donc    f ' ( x ) > 0 pour tout x dans IR*

             f ' ( x ) = 0 pour x = 0

            La fonction f est strictement croissante sur R*.

            Mais comme f est continue en 0 elle est strictement

           croissante dans IR.

          Conclusion : La fonction f est strictement croissante sur R.

         Tableau de variationde f :   

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   4.  Soient x un nombre réel non nul et les points M( x ; f ( x ) ) et M ' ( - x ; f ( - x ) )

         de la courbe  ( C ) .

           a. Etablir que  f ( - x ) = x / ( e^x - 1 ) puis déterminer le

               cœfficient directeur de la droite  ( MM ' ) .

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    Réponse :

         •    Soit x dans IR* .

           f( - x ) =   - x e^-x  / ( e^-x - 1 )

  c-à-d  

           f( - x ) = - x / (  e^x ( e^-x - 1 ))

  c-à-d 

            f( - x )   =  - x / (  e^x  e^-x -  e^x  )

    c-à-d

              f( - x ) = - x / ( 1 - e^x  )

  c-à-d               f ( - x )        =  x / ( e^x   - 1)

             Conclusion :   On a bien le résultat.

     • Le cœfficient directeur de la droite ( M M ' ) est :

                 (  f( - x ) - f( x ) ) /  ( - x - x ) = [  x / ( e^x  - 1 ) - x e^x  / ( e^x - 1 ) ] / ( - 2 x )

     c-à-d 

             (  f( - x ) - f( x ) ) /  ( - x - x ) = [  1 / ( e^x  - 1 )   - e^x / ( e^x - 1 ) ] /( - 2 )

c-à-d    

             (  f( - x ) - f( x ) ) /  ( - x - x ) =  ( 1 - e^x  )  / ( - 2 ( e^x - 1 )   ) 

c-à-d

            (  f( - x ) - f( x ) ) /  ( - x - x ) =   1 / 2

 c-à-d 

     Conclusion :   Le cœfficient directeur de la droite ( M M ' ) est :

                            (  f( - x ) - f( x ) ) /  ( - x - x ) =  1 / 2

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   b. On admet que la fonction f est dérivable en 0.

         Que suggère alors le résultat précédent ?

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         Réponse : 

               La droite ( M M' ) en position limite quand x est très proche de 0

                tend à etre la tangente à ( C ) au point d'abscisse 0.

             Comme on admet que f est dérivable en 0.

              On peut dire que f '( 0) = 1 / 2

              Conclusion f '(  0 ) = 1 / 2