DS n° 4 TS2 17 décembre 2011

                                            DEVOIR SURVEILLE     TS2       Samedi 17 décembre 2011      55 mn

         

      EXERCICE DE BAC  de  JUIN 2010 

        On considère la fonction f définie sur IR par:

                                 f( x ) = x ex  / ( ex - 1 )      si   x ≠ 0

                                 f( 0 ) = 1

     On note ( C ) la courbe représentative de f dans un orthonormal

      ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) .

                                               courbe-ex-bac-2010.jpg

     1. a Déterminer la limite de f en - ∞ .

         b. Etablir que , pour tout nombre réel x non nul , on a :

               f( x ) = x ( 1 + 1 /( ex - 1 )  )

              En déduire la limite de f en + ∞.

    2. Donner sans démontrer , la limite suivante lim ( ex - 1 ) / x

                                                                                 x → 0

           et démontrer que f est continue en 0

 

    3. a. Démontrer que, pour tout nombre réel x , on a ex ≥ x + 1 et

            que l'égalité n'a lieu que pour x = 0

 

        b. Calculer la dérivée f ' de la fonction f et déterminer la fonction g

            telle que , pour tout réel x non nul , f '( x ) = ex g( x ) / ( ex - 1 )2    .

 

       c. Donner le tableau de variation de la fonction f.

   4.  Soient x un nombre réel non nul et les points M( x ; f ( x ) ) et M ' ( - x ; f ( - x ) )

         de la courbe  ( C ) .

           a. Etablir que  f ( - x ) = x / ( ex - 1 ) puis déterminer le

               cœfficient directeur de la droite  ( MM ' ) .

           b. On admet que la fonction f est dérivable en 0.

             Que suggère alors le résultat précédent ?

______________________________________________________________________________