INFO EX 36 DV MAISON TS2

                      INFO  DV  MAISON                   TS2      05 /12/11

         EXERCICE  36 Page 58      ( Seul le a. était demandé dans le DV )

      Dans chacun des cas suivants , déterminer le nombre de solutions

      dans IR de l'équation donnée et donner une valeur approchée à 10- 2

       près de ces solutions.

               a.          x3 + x + 1 = 0

               b.       - x3 + 1, 5 x2 - 0, 1 = 0  

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

      Réponse:

        a.   • Existence et unicité.      

                                 courbe31bis.jpg

          Soit la fonction f : x→ x3 + x + 1

          La fonction polynôme f est définie et dérivable dans IR.

           On a:     f ' :  x→ 3  x2 +  1

           Or    3  x2 +  1 ≥ 1  pour tout x dans IR

           Donc f ' > 0 sur IR

          La fonction f est strictement croissante sur IR.

   On a :        lim ( x3 + x + 1 ) = lim x3  = + ∞

                     x → + ∞                  x → + ∞

          c-à-d  

                        lim f( x ) = + ∞

                       x → + ∞ 

           De la même façon :     

    On a :        lim ( x3 + x + 1 ) = lim x3  = - ∞

                     x → - ∞                  x → - ∞

          c-à-d  

                        lim f( x ) = - ∞

                           x → - ∞ 

            D'après le théorème de la bijection  f( IR ) = IR.

            De plus comme 0 est dans IR , il existe un unique réel α 

            solution  de f( x ) = 0.

            ( On dit que f réalise une bijection de IR sur IR .

              Donc  0 qui est dans IR admet un unique antécédent α par f dans IR . )

        Conclusion :   L'équation x3 + x + 1 = 0 a une unique solution α
                                dans IR

         •  Encadrons α.

             f( - 0,67 ) ≈ 0,02524      valeur positive

            f( -  0,68 ) ≈   0,00557    valeur positive

            f( -  0,69 ) ≈  - 0,0185    valeur négative

              Donc:

         f  s'annule entre - 0,69  et - 0,68    car elle passe d'une valeur négative  

          à une valeur positive.

               Conclusion :     - 0,69 < α  < - 0,68

                                                                                 courbe-ex31-1.jpg

------------------------------------------------------------------------------------------------------------