INFO EXERCICE TS2 16 /12/11

INFO EXERCICE TS2 16 Décembre 2011

EXERCICE

Soit la fonction f : x → xe^{- x} + 1 - x

Soit ( C_f ) sa courbe représentative dans un repèrer orthonormal du plan.

a. Calculer les limites de f en -∞ et en + ∞.

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Réponse:

D_f = ] - ∞ ,+ ∞ [

-∞ et +∞ sont des extrémités de l'intervalle de définition.

On peut faire la recherche.

• en - ∞

Soit x dans IR quelconque.

On peut factoriser partiellement x pour éviter une forme indéterminée.

f( x ) = x ( e^{- x}- 1 ) + 1

◊ On a :

lim x ( e^{- x}- 1 ) = - ∞

x → - ∞

En effet :

car lim e^{- x}= lim e^X= + ∞

x → - ∞ X → +∞

Donc

lim x ( e^{- x}- 1 ) = ( - ∞ ) ×( +∞ - 1 )) = - ∞

x → - ∞

◊ Avec l'expression complète

lim [ x ( e^{- x}- 1 ) + 1 ] = - ∞

x → - ∞

Conclusion : lim f = - ∞

- ∞

• en + ∞

◊ On a :

lim x ( e^{- x}- 1 ) = - ∞

x → + ∞

En effet :

On d'après le cours lim e^X =0

x → - ∞

Ainsi

lim ( e^{- x}- 1 ) = lim ( e^X- 1 ) = 0 – 1 = - 1

x → + ∞ X → - ∞

◊ D'où pour l'expression complète:

lim [ x ( e^{- x}- 1 ) + 1] = = + ∞ × ( - 1 ) + 1 = - ∞

x → + ∞

Donc:

Conclusion : lim f = - ∞

+ ∞

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b. Calculer f ’ ( x ) .

Montrer que f ’ ( x ) = e^{- x}h(x ) où h

est une fonction que l’on précisera.

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Réponse :

Soit x dans IR.

On a : f( x ) = x ( e^{- x}- 1 ) + 1

Soit les fonctions u : x → x et v : x → e^{- x}- 1

On a : f = u × v + 1

Comme u et v sont définies et dérivables dans IR,

f l'est aussi .

Il vient : f ' = u ' × v + u × v '

avec u ' : x → 1 et v ' : → - e^{- x}

Soit x dans IR

On a : f ’ ( x ) = 1 ×( e^{- x} - 1 ) + x ( - e^{- x})

c-à-d f ’ ( x ) = e^{- x} - 1 - x e^{- x}

c-à-d en factorisant e^{- x}

f ’ ( x ) = e^{- x}( - x + 1 - e^x )

Posons h( x ) = - x + 1 - e^x

On a bien l'écriture f( x ) = e^{- x} h ( x )

Conclusion : On a bien l’écriture damandée pour f ’(x)

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c. Rappeler, suivant les valeurs de x le signe de 1 - e^x.

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Réponse :

On sait :

1 - e^x> 0 s’écrit e⁰ > e ^x c-à-d 0 > x

et 1 - e^x< 0 s’écrit e⁰ < e ^x c-à-d 0 < x

Enfin 1 - e^x= 0 s’écrit x = 0

Conclusion:

x	-∞ 0 +∞
1 - e^x	+ 0 -

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d. En déduire que , si x > 0 alors 1 - e^x- x < 0

et si x < 0 alors 1 - e^x- x > 0 .

Etudier le sens de variation de f.

^{--------------------------------------------------------------------------------------------------------------}

Réponse :

• Soit x < 0 alors - x > 0

Or 1 - e^x> 0

Par somme membre à membre : 1 - e^x- x > 0

c-à-d h( x ) > 0

Comme e^-x> 0

on a e^-xh(x ) > 0

c-à-d f '(x ) > 0

• Soit x > 0 alors - x < 0

Or 1 - e^x< 0

Par somme membre à membre : 1 - e^x- x < 0

c-à-d h( x ) < 0

Comme e^{- x}> 0

on a e^{- x}h(x ) < 0

c-à-d f ' ( x ) < 0

D'autre part:

h( 0 ) = 0- 0 = 0

f '( x ) = 0 ssi x = 0

Conclusion : f est strictement décroissante sur IR⁺

f est croissante strictement sur IR^-

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e . Montrer que la droite d d'équation y = - x + 1 est asymptote à ( C_f ).

Etudier les positions relatives de d et ( C_f ).

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Réponse:

Soit x dans IR.

f( x ) = xe^{- x} + 1 - x

c-à-d

f( x ) - ( - x + 1 ) = xe^{- x}

Or on a déjà vu que : lim xe^{- x} = 0

x → +∞

Ainsi lim ( f( x ) - ( - x + 1 ) ) = 0

x → +∞

Conclusion : Oui la droite d : y =- x + 1 est une asymptote

en + ∞ à ( C_f ).

De plus comme exp > sur IR , xe^{- x} est du signe de x.

Ainsi f( x ) - ( - x + 1 ) est du signe de x .

x	- ∞ 0 + ∞
f( x ) - ( - x + 1 )	- 0 +

Conclusion :

Sur l'intervalle ] - ∞ , 0 [ ( C_f ) est au dessous de d.

Sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ ( C_f ) est au dessus de d.

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f. Démontrer qu'il existe un point A de ( C_f ) tel que la tangente en A soit

parallèle à d .

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Réponse:

Le cœfficient directeur de d est - 1.

Cherchons x dans IR tel que f '( x ) = - 1.

Soit x dans IR.

f '( x ) = - 1 s'écrit

c-à-d e^{- x} - 1 - x e^{- x}= - 1

s'écrit e^{- x}- x e^{- x}= 0

c-à-d en divisant par e^{- x} qui est non nul

1 - x = 0

c-à-d x = 1

On a: f( 1 ) = e^{- 1}

Conclusion : A( 1 ; e^-1) la tangente à la courbe ( C_f ) est parallèle à d.

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