METHODE D'EULER AVEC ALGOBOX POUR EXP TS2 nov. 2011
INFORMATIONS:
On dispose des informations suivantes:
f est une fonction définie , dérivable sur IR.
f ' = f sur IR
f( 0 ) = 1
OBJECTIF
On veut la courbe de f approchée par un ligne polygonale sur [ 0 ; + ∞ [
en fait sur un intervalle [ 0 ; B ].
f est une primitive de f '.
. METHODE
On utilise déjà le fait que f est dérivable en tout réel a.
Ainsi il existe une fonction ε définie au voisinage de 0 et de limite nulle en 0
et il existe un réel noté f '( a ) tels que :
f( a + h ) = f(a ) + h× f ' ( a ) + h ×ε( h )
pour tout réel h tel que a + h soit dans
l'intervalle de définition de f.
On dispose donc de l'approximation affine :
f( a + h ) ≈ f(a ) + h f ' ( a ) pour h voisin de 0
Ici : a = 0 f( a ) = f( 0 ) = 1
• Le point M0 est de coordonnées ( 0 ; 1 )
• f( 0 + h ) ≈ f( 0 ) + h f ' ( 0 )
c-à-d f( 0 + h ) ≈ 1 + h f ( 0 )
c-à-d f( 0 + h ) ≈ 1 + h car f( 0 ) = f ' ( 0 ) = 1
Le points M1 est de coordonnées ( 0 + h ; 1 + h )
• f( (O + h ) + h ) ≈ f( 0 + h) + h f '( 0 + h )
c-à-d f( (O + h ) + h ) ≈ 1 + h + h f ( 0 + h )
c-à-d f( (O + h ) + h ) ≈ 1 + h +h ( 1 + h )
c-à-d f( (O + h ) + h ) ≈ ( 1 + h )2
Le points M2 est de coordonnées ( 0 + 2 h ; ( 1 + h )2 )
Ainsi de suite .
On peut conjecturer que le point Mn est de
coordonnées ( 0 + n h ; ( 1 + h )n )
Cela se montre par récurence dans IN.
Les points Mn est de coordonnées ( 0 + n h ; ( 1 + h )n )
La suite des points points Mn permet de considérer
la liste de segments [ Mk Mk+1 ] avec k dans IN permet de construire
un ligne polygonale qui approche la courbe de f sur IR+ .
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