EQUATION DIFFERENTIELLE

                    EQUATION DIFFERENTIELLE LINEAIRE DU PREMIER ORDRE      20 OCT. 2010       TS

      1. INTRODUCTION .

                                               y ' = y   est une équation différentielle.

                                        ( Elle est de la forme    y ' = a y      où     a = 1  )

            On parle d'équation différentielle du premier ordre linéaire homogène.

           a.    Résoudre une telle équation différentielle c'est trouver toutes les fonctions f

                  définies et dérivables sur IR telles que   f ' ( x ) = f ( x ) pour tout x dans IR.

                  Parmi elles il en existe une seule  qui vérifie  y ' = y   et  qui vaut  1 en x = 0.

                  Cette fonction est la fonction  exp : x → e^x   , dite fonction exponentielle népérienne.

                  Sa courbe est   la courbe rouge   ci-dessous: 

             b.  C'est dans le programme l'existence de cette courbe  rouge  que  l'on peut approcher

                   avec  la méthode d'Euler qui est sensée justifier l'existence de la fonction exponentielle

               Mais les fonctions    x   → C  e^x    avec C dans IR  vérifient aussi  y ' = y.

                En effet :     exp' = exp       Donc   C  exp ' = C   exp

               L'équation   y ' = y   admet donc toute une famille  de fonctions   x   → C  e^x    .

               où C est simplement un réel comme solution.

              C'est la valeur de C qui les distingue. Sur le graphique

              on voit les courbes pour C  = 2 et pour C = 1 / 3.

          c.  La question est de savoir si d'autres types de fonctions définies

               et dérivables dans IR  sont solution de  y ' = y.

               La réponse est NON.

                  Nous allons l'établir.

              Soit f une fonction définie et dérivable sur IR

              telle que    f '( x ) = f( x )  pour tout x dans IR.

              f '( x ) = f( x )  pour tout x dans IR  s'écrit , en multipliant chaque membre par   e^{- x} 

               e^{- x}  f '( x ) = e^{- x}  f( x )  pour tout x dans  IR

   c-à-d     e^{- x}    f '( x ) -  e^{- x}   f( x ) = 0  pour tout x dans  IR .

   c-à-d      en posant g( x ) = exp( - x )   et sachant   g ' ( x ) = - exp( - x )

                on a        g( x  ) f '( x ) + g' ( x ) f( x )  =  0    pour tout x dans  IR .

                     c-à-d             (g × f )' ( x )   = 0     pour tout x dans  IR .

                      c-à-d        g × f  est constante sur IR .

                      c-à-d          il existe C dans IR tel que   e^{- x} × f ( x ) = C   pour tout x dans IR.

                       c-à-d      il existe C dans IR tel que     f ( x ) = C  e ^x   pour tout x dans IR

                      On a bien  montré l'affirmation.

     2. COURS: Résolution d'une équation différentielle du premier ordre linéaire.

            a.    Soit l'équation différentielle linéaire du premier ordre  homogène :

                     y ' =  a y   avec a un réel non nul

                    La solution générale est de la forme   x   →  C e^{a x}    avec C dans IR  

                    La solution particulière qui vaut  β  en x  = α  est :

                      x →   β   e ^{a( x - α  )} 

           c.     Soit l'équation différentielle linéaire du premier ordre  :

                     y ' =  a y  + b     avec a un réel non nul   et b  un réel 

                    La solution générale est de la forme   x   →  C e^{a x}  - b / a  avec C dans IR                      

                   La solution particulière qui vaut  β  en x  = α  est :

                      x →  (  β + b / a )  e ^{a( x - α  )}   - b / a

        Explication du cours. 

                 Cela revient  un peu à paraphraser l'introduction .

                 1.  Soit  a un réel non nul.

                    • PRELIMINAIRE:

                     La fonction  g : x  → e ^{-a x}   est définie et dérivable dans IR

                     car elle de la forme e^u      avec  u : x → - a x  

                     qui est définie et dérivable dans IR.

                     Comme   u '  : x → - a   et   g ' = u '  e^u  

                      on a      g ' : x  → - a  e ^{-a x}

                    •  On considère l'équation différentielle linéaire  homogène

                      y ' = a y      ( 1 )

                    Soit f une fonction définie et dérivable sur IR   solution de (  1 )

                    Pour tout x dans IR  on a :        f '( x ) = a f( x )      

                               c-à-d       en multipliant chaque membre par   e ^{-a x} 

                                      e ^{- a x}  f '( x ) = a  e ^{- a x}  f( x )       pour tout x dans IR          

                    c-à-d          e ^{- a x}  f '( x ) - a  e ^{- a x}  f( x )   = 0   pour tout x dans IR

                    c-à-d        en considérant   g( x ) =   e ^{- a x}    et   g'( x ) = - a   e ^{- a x} 

                                    g( x) f ' ( x ) + g'( x ) f( x ) = 0   pour tout x dans IR

                    c-à-d               ( g × f ) '_{( x )} = 0     pour tout x dans IR

                    c-à-d                  g × f est constante sur IR

   c-à-d   il existe C dans IR  tel que   g( x )  × f( x )  = C      pour tout x dans IR

  c-à-d   il existe C dans IR  tel que   e ^{- a x}  × f( x )  = C      pour tout x dans IR

 c-à-d  il existe C dans IR tel que  f( x )  = C  e  ^{a x}      pour tout x dans IR

                             Donc  la solution générale de ( 1 ) est de la forme

                              f: x  → C  e  ^{a x}       avec  dans IR

                 Le premier résultat de cours est avéré.

           2. Soit  a un réel non nul  et b un réel.

                  Considérons l'équation différentielle linéaire  y ' = a y + b     ( 2 )     

                  La fonction    h : x  → - b / a  est une solution particulière de ( 2 ) .

                 En effet    h ' :  x  → 0  c'est la fonction nulle sur IR.

                          c-à-d   h' ( x ) = 0  pour tout x dans IR.

                Mais     a h( x ) + b = a ( - b / a ) + a  = 0  pour tout x dans IR.

                Donc     h' ( x )  =  a h( x ) + b   pour tout x dans IR.

                 c-à-d 

                        La fonction h : x  → - b / a   est une solution particulière de y ' = a y + b

              3. Recherche de la solution générale de  ( 2 ) .

                     Soit f une fonction définie et dérivable sur IR.

                  • •  PRELIMINAIRE.

                        On a  l'équivalence : 

                     f est solution générale de ( 2 )   ssi  f - h est solution générale de ( 1 )  

    En effet :

                 f est solution générale de ( 2 )   ssi  f '( x ) = a f( x ) + b  pour tout x dans IR

    c-à-d          comme     h' ( x )  =  a h( x ) + b   pour tout x dans IR.

 f est solution générale de ( 2 )   ssi   f '( x ) - h' ( x ) = a f( x ) + b  - (   a h( x ) + b )   pour tout x dans IR

     c-à-d  

f est solution générale de ( 2 )   ssi   ( f -  h ) ' _{( x )}  =   a   f ( x ) + b - a h( x ) - b   pour tout x dans IR

    c-à-d 

 f est solution générale de ( 2 )   ssi   ( f -  h ) ' _{( x )}  =   a  ( f ( x ) - h ( x )  )   pour tout x dans IR

     c-à-d

 f est solution générale de ( 2 )   ssi   ( f -  h ) ' _{( x )}  =   a  ( f - h ) _{( x )}     pour tout x dans IR

            Donc on a bien :

           f est solution générale de ( 2 )   ssi  f - h est solution générale de ( 1 )  

                  • • Ainsi :

  f est solution générale de ( 2 )   ssi  il existe C dans IR tel que    f( x ) - h( x )   = C e^{a x}   pour tout x dans IR

  c-à-d

  f est solution générale de ( 2 )   ssi  il existe C dans IR tel que    f( x ) = C e^{a x}  + h( x )  pour tout x dans IR

c-à-d

  f est solution générale de ( 2 )   ssi  il existe C dans IR tel que    f( x ) = C e^{a x}   - b / a   pour tout x dans IR

                Donc :       la solution générale de ( 2 ) est de la forme f : x →   C e^{a x}   - b / a     avec C dans IR

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