INFO EXERCICES SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES 20 OCTOBRE 2010 TS2
EXERCICE 1
1. Donner le sens de variation de la fonction g : x→ x2 e- x .
La fonction g est définie et dérivable dans IR comme produit u × w de telles fonctions:
u : x → x2
w : x → e- x
La fonction w étant elle même la composée e v ( c-à-d v ο exp ) des fonctions
exp: x → e x puis v : x → - x
qui sont définies et dérivables dans IR.
exp ' = exp et v ' : x → - 1
On a : w ' : x → v ' ( x ) ev( x ) c-à-d w ' : x → - e- x
Soit x dans IR .
On a : g' ( x ) = u '( x ) × w( x ) + u( x ) × w ' ( x )
c-à-d
g' ( x ) = ( 2 x ) × e- x + x2 ×( - e- x )
c-à-d
g' ( x ) = e- x ( 2 - x ) x
Comme exp > 0 sur IR g ' ( x ) est du signe de ( 2 - x ) x .
Ainsi d'après la règle des signes d'un trinôme du second degré
- x2 + 2 x = ( 2 - x ) x
qui s'annule pour x = 0 et pour x = 2
avec a = - 1 comme cœfficient de x2
on peut donner le signe de g ' ( x ) .
Il en résulte le sens de variation de g.
Conclusion : Le sens de variation de g est :
| x | - ∞ 0 2 + ∞ |
| g ' ( x ) | - 0 + 0 - |
| g ( x ) | ↓ 0 ↑ 4 e- 2 ↓ |
2. Soit l'équation différentielle y ' = - y + 2 x e- x notée ( 1 ).
a. Montrer que la fonction g est une solution de ( 1 ).
Soit x dans IR quelconque.
On a : g ' ( x ) = e- x ( 2 - x ) x
Or - g ( x ) + 2 x e- x = - x2 e- x + 2 x e- x
c-à-d - g ( x ) + 2 x e- x = e- x ( - x2 + 2 x )
c-à-d - g ( x ) + 2 x e- x = e- x ( - x + 2 ) x = g '( x )
Donc g ' ( x ) = - g ( x ) + 2 x e- x pour tout x dans IR.
Conclusion : g est bien une solution particulière de l'équation de ( 1 ).
b. Résoudre l'équation différentielle y ' = - y notée ( 2 ) .
Elle est de la forme y ' = a y avec a = - 1
Donc la solution générale ( ou intégrale générale ) est :
x → C ea x avec C dans IR
Conclusion : La solution générale est de la forme
x → C e- x avec C dans IR .
c. Soit f une fonction définie et dérivable sur IR.
Montrer que :
f est solution de ( 1 ) si et seulement si f - g est solution de ( 2 ).
f est solution de ( 1 ) ssi pour tout x dans IR , f ' ( x ) = - f( x ) + 2 x e- x
c-à-d , comme pour tout x dans IR g ' ( x ) = - g( x ) + 2 x e- x par soustraction,
f est solution de ( 1 ) ssi pour tout x dans IR , f ' ( x ) - g ' ( x ) = - f( x ) + 2 x e- x - ( - g( x ) + 2 x e- x )
c-à-d
f est solution de ( 1 ) ssi pour tout x dans IR , ( f - g )'( x ) = - ( f( x ) - g( x ) ) + 2 x e- x - 2 x e- x
c-à-d
f est solution de ( 1 ) ssi pour tout x dans IR , ( f - g )'( x ) = - ( f( x ) - g( x ) )
c-à-d
f est solution de ( 1 ) ssi pour tout x dans IR , ( f - g )'( x ) = - ( f - g )( x )
c-à-d
f est solution de ( 1 ) ssi ( f - g ) ' = - ( f - g ) sur IR
c-à-d
f est solution de ( 1 ) ssi f - g est solution de ( 2 )
Conclusion : L'équivalence est prouvée.
d. En déduire la solution générale de ( 1 ) .
D'après l'équivalence précédente et la résolution faite de ( 2 ) on peut dire :
f est solution de ( 1 ) ssi f - g est de la forme f - g : x → C e- x avec C dans IR
c-à-d
f est solution de ( 1 ) ssi f est de la forme f : x → g( x ) + C e- x avec C dans IR
c-à-d
f est solution de ( 1 ) ssi f est de la forme f : x → x2 e- x + C e- x avec C dans IR
Conclusion : La solution générale de ( 1 ) est de la forme
x → x2 e- x + C e- x avec C dans IR
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Rappel: Soit u une fonction définie et derivable dans un intervalle I.
Alors la fonction eu est aussi définie et dérivable dans I et l'on a :
( eu ) ' = u ' eu
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EXERCICE 2
1. Résoudre les équations différentielles suivantes:
a. y ' = 3 y
Elle est de la forme y ' = a y avec a = 3 .
Donc, d'après le cours, la solution générale est de la forme
x → C ea x avec C dans IR .
Ici :
Conclusion : La solution générale est de la forme x → C e3x avec C dans IR
b. y ' = 3 y + 7
Elle est de la forme y ' = a y + b avec a = 3 et b = 7.
Donc, d'après le cours, la solution générale est de la forme
x → C ea x - b / a avec C dans IR .
Ici :
Conclusion : La solution générale est de la forme
x → C e3x - 7 / 3 avec C dans IR
2. Trouver pour chacune la solution particulière qui vaut 5 en x = 2
a. Soit g : x → C e3 x avec C dans IR .
Imposons g( 2 ) = 5
c-à-d C e6 = 5
c-à-d C = 5 e- 6
Soit x dans IR.
Reportons C dans l'expression de g.
On a : g( x ) = 5 e- 6 e3 x = 5 e3 x - 6
c-à-d g( x ) = 5 e3 ( x - 2 )
Conclusion : La solution particulière est x → 5 e3 ( x - 2 )
b. Soit h : x → C e3 x - 7 / 3 avec C dans IR .
Imposons h( 2 ) = 5
c-à-d C e6 - 7 / 3 = 5
c-à-d C e6 = 7 / 3 + 5 = 22 / 3
c-à-d C = ( 22 / 3 ) e- 6
Soit x dans IR.
Reportons C dans l'expression de h.
h ( x ) = ( 22 / 3 ) e- 6 e3 x - 7 / 3
c-à-d h ( x ) = ( 22 / 3 ) e 3 ( x - 2 ) - 7 / 3
Conclusion : La solution particulière est x → ( 22 / 3 ) e 3 ( x - 2 ) - 7 / 3
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EXERCICE 3
1. Résoudre l'équation différentielle :
5 y ' + 3 y - 1 = 0 ( 1 )
Elle s'écrit : y ' = ( - 3 / 5 ) y + 1 / 5
Elle est de la forme : y ' = a y + b avec a = - 3/ 5 et b = 1 / 5
La solution générale est de la forme
x → C ea x - b / a avec C dans IR .
Ici comme - b / a = - ( 1 / 5 ) / ( - 3 / 5 ) = 1 / 3
Conclusion : La solution générale est de la forme :
x → C e( - 3 / 5 ) x + 1 / 3 avec C dans IR .
2. Trouver la solution particulière g de ( 1 ) telle que g( 0 ) = 1.
Soit g( x ) = C e( - 3 / 5 ) x + 1 / 3
Imposons g( 0 ) = 1
c-à-d C e0 + 1 / 3 = 1
c-à-d C = 1 - 1 / 3
c-à-d C = 2 / 3
Soit x dans IR .
En reportant
g( x ) = ( 2 / 3 ) e( - 3 / 5 ) x + 1 / 3
Conclusion : La solution particulière cherchée est :
x → ( 2 / 3) e( - 3 / 5 ) x + 1 / 3
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