INFO EX EQUATION DIFFERENTIELLE

                                INFO   EXERCICE EQUATION DIFFERENTIELLE               Janvier 2012 TS2

          EXERCICE:

        On considère les deux équations différentielles:

                         y ' = 2 y   notée ( 1 )

                          y ' = y  notée ( 2 )

          1. Résoudre ces équations différentielles sur IR.

              Réponse:

                • Pour ( 1 ).

                  Elle est de la forme y ' = a y  avec a = 2.

           Conclusion : La solution générale est  x → C e2x     avec C dans IR.

                 • Pour ( 2 )

                  Elle est de la forme y ' = a y  avec a = 1 .

            Conclusion : La solution générale est  x → C' ex     avec C' dans IR.

          2. Le graphique ci-dessous représente une partie de la courbe représentative     

              ( C ) d'une fonction f et d'une de ses tangentes T, dans un repère orthonormal

              ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).

                Cette fonction f est définie sur IR par:

                              f( x ) = f1 ( x ) - f2( x )

                   où f1 est une solution de ( 1 ) et f2 est une solution de ( 2 ).

             a. A partir des données lues sur le graphique , donner f( 0 )

                  puis montrer que la droite T a pour équation:

                                          y =3 x + 1 .

                  En déduire f '( 0 ).

                           courbe-ex88.jpg

                     Réponse:

                    •  On lit :   f( 0 ) = 1

                    •   La droite T sur le graphique a pour cœfficient directeur:    3 / 1 = 3.

                        Elle passe par le point de coordonnées ( 0 ; 1 ).                             

                        Donc :

                                 La droite T est d'équation y = 3 x + 1

                    • T est la tangente à la courbe ( C ) au point d'abscisse 0.

                       Ainsi le nombre dérivé de f  en x = 0 est  3

                       On a :       f ' ( 0 ) = 3

                  b. A l'aide des valeurs de f(0 ) et f ' ( 0 ) trouvées à la question précédente 

                      déterminer les fonctions f1  et  f2   .

                        Réponse: 

                On a pour tout x dans IR :       f( x ) = C e2x    -   C '   ex        

                     f( 0 ) =1    donne        1 = C e0 - C '   e0      c-à-d        1 =C - C '                  

               f est définie et dérivable dans IR comme somme de telles fonctions.

                 f ' ( x ) = 2 C e2 x  - C' ex    pour tout x dans IR.

                 f '( 0 ) = 3      donne    3 = 2C e0 - C '  e0       c-à-d    3 = 2 C - C ' 

                  Résolvons le système :

                              C - C ' = 1

                              2 C -  C ' = 3

                Par soustraction     2 C - C= 3 - 1    c-à-d    C = 2

                Puis 2 - C '  = 1       c-à-d    C ' = 1

                      Conclusion :     f1( x ) =  2 e2 x            f2( x ) = ex

                     En déduire , pour tout  f( x ) = 2 e2x - ex       

                    Il est clair en reportant que

                   Conclusion :         f( x ) =  2 e2 x  - ex                pour tout x dans IR

                            c. en déduire les limites de f en - ∞ et en +  ∞.

                               • En  - ∞ 
                            Comme   lim ex   = 0  
                                                          x→  - ∞                        

                              on a      lim   ex ex  = 0     c-à-d       lim e2x   = 0
 
                                            x→  - ∞                                x→  - ∞

                               Donc  lim (   2 e2x - ex  ) = 2 × 0 - 0 =  0

                                             x→  - ∞ 

                               Conclusion :    lim f = 0

                                                         - ∞
                   
                                       On a :  f( x ) = ex  ( 2 ex  - 1 )
 
                                 Or               lim ( 2 ex  - 1 ) = + ∞

                                                 x→  + ∞ 

                                        et        lim ex   =   + ∞    
                                                                  x→  + ∞    

                Donc        lim [ ex  ( 2 ex  - 1 )    =   + ∞  

                              x→  + ∞   

                  Conclusion :    lim f = 0

                                           + ∞    

            d. A l' aide d'une calculatricre donner une approximation de l'absicce  

                du point d'intersection  du point d'intersection de la courbe ( C )

                 avec l'axe des abscisses.

                La restriction de f à l'intervalle [ - 0,7 ; - 0,6] définie, continue, strictement croissante

                et on a :

                f( - 0,6 ) ≠ 0,50 

                f(  - 0,7 )   #  - 0,0034

                      Or 0 est compris entre 0,50 et -0,003                                                                                                                                                                                                          
                      f  s'annule pour une seul valeur comprise entre- 0,7 et - 0,6.

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ex  ( 2 ex  - 1 )