METHODE DE CARDAN pour  x³ + p x + q = 0

         RESOLUTION PAR RADICAUX D'UNE EQUATION DU 3 ième DEGRE. 

         ( Maths expertes )

           Thème:    METHODE DE CARDAN:

               Exposé sur la  résolution par radicaux d'une équation du troisième degré

               à coefficients réels, de la forme :  x³ + p x + q = 0  par Cardan.

               Cardan ne connaissait pas encore les nombres complexes.  

     ♦PREMIER POINT :

      Le cas plus général de  x³ + a x²  + b x  + c = 0,  où a , b , c  sont dans IR,

      peut toujours se ramener à cette forme.

       En posant x = y − a / 3 ) on obtient une équation de la forme

        y³ + p y + q = 0  .

         Puis, pour revenir à x en ayant y, on réutilise x = y − a / 3.  

      ♦SECOND POINT :

         Le cas encore plus général de  a x³ + b x²  + c x  + d = 0   (  avec a non nul , a , b ,c ,d dans IR )

        peut toujours  se ramener à cette forme y³ + p y + q = 0.

         Il suffit de poser x = y − b / (3 a)

      ♦TROISIEME  POINT :

        L'équation  x³ + p x + q = 0 avec p et q dans IR , est de degré impair 3 . 

        Elle a forcément au moins une  solution dans IR.

      ( Dans C, l'ensemble des nombres complexes, elle admet trois solutions distinctes ou confondues.

         De plus si z₀  en est une solution , son conjugé est aussi une solution.

         Comme elle ne peut avoir quatre racines, l'une doit être réelle )

        Par contre celle-ci ne peut pas toujours être trouvée par la méthode de Cardan.

         ♦QUATRIEME  POINT.

        Quand on a pu trouver déjà une racine réelle k de  x³ + p x + q = 0  on peut factoriser X − k

       ( par exemple par division ) pour obtenir un autre facteur, du second degré.       

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                LA METHODE DE CARDAN :

   L’idée consiste à chercher x sous la forme x = u + v   afin d’obtenir une équation

   plus simple à résoudre.

    On remplace x  par u + v  dans l’équation x³ + p x + q = 0 .

    Il vient:

                   ( u + v )³ + p ( u + v ) + q = 0 

      Mais:       ( u + v )³  = u³ + 3 u² v + 3 u v²   + v³   ( Identité remarquable )

    Donc, en développant , en factorisant 3 u v , et en regroupant cela donne :

          u³ + v³ + ( 3 u v + p )( u + v ) + q = 0.

       Alors,  arbitrairement, pour débloquer la situation on ne considère 

          que le cas où :                    3 u v + p = 0 

     Cette condition imposée se traduit par : 

                      u v = − p / 3            ( uv est du signe de − p )

        L’équation     u³ + v³ + ( 3 u v + p )( u + v ) + q = 0

        donne alors :

                       u³ + v³  + q = 0                

        On dispose, à ce stade, donc, du système suivant de trois informations:

                      •   u³ + v³  = − q 

                      •    u³  v³  = − ( p / 3 )³ 

                      • u v du signe de − p   

         On  connaît la somme et le produit de  u³  et v³ .

         Ces nombres, s'ils existent, sont donc solutions du trinôme du second degré  en Y:

             Y² + q Y − (p / 3)³  = 0 

       En effet :

          ( Y − u³  )( Y− v³  ) = Y² − ( u³  + v³  )Y +  u³  v3   =   Y²   + q Y− ( p  / 3 )³ 

         Ainsi, u³  et v³    doivent être les solutions de l’équation du second degré :

                         Y² + qY− (p / 3)³  = 0       avec   uv du signe de – p   

        Une condition d'existence d'une solution dans IR, porte sur le discriminant,

          ∆ = q² + 4 ( p / 3)³  = ( 27 q²  + 4 p³  ) / 27 = ( 4 p³   + 27  q²  ) / 27

        (  ∆ est du signe de  4 p³   + 27  q²     )

        Il doit être positif ou nul, pour que la méthode de Cardan fonctionne.

       ( Quand  q² + 4 ( p/ 3)³  < 0    c-à-d   4 p³   + 27  q²  < 0  , Cardan ne pouvait

          plus avancer car il ne connaissait pas encore les nombres complexes )

    ATTENTION : Une solution réelle, même dans le cas où   ∆  < 0, peut être possible,

   pour l'équation x³ + p x + q = 0 , grace aux nombres complexes .   Bombelli le montrera plus tard )

               Cardan s'est placé seulement dans le cas  ∆  ≥ 0.

              Il savait résoudre cette équation du second degré   Y² + qY− (p / 3)³  = 0   par les radicaux.

             Ses solutions, pour u³  et v3  ,si elles existent dans IR, sont alors exprimables par radicaux

             à partir des coefficients  q  et ( p / 3)³ .

         Ainsi, en prenant des racines cubiques de u³  et v³  et en respectant la condition, uv du signe de  – p,

         il a trouvé : [ ( − q + √( q²  + 4 (p / 3 )³ ) ) / 2) ]^{(1 / 3 )}  et   [ ( − q − √( q²  + 4 (p  / 3 )³ ) ) / 2) ]^{(1 / 3 )} 

         pour u et v .  

        Donc ,  il a pu obtenir u et v  exprimés par radicaux à partir des coefficients  p  et  q

        Ensuite comme x = u + v, , il a pu exprimer x par radicaux à partir de p et q.

        L’équation de degré 3 ,   x³ + p x + q = 0, devient  résoluble par radicaux. 

        Une solution générique réelle possible, dans le cas favorable de  ∆  ≥ 0 ,

         c-à-d  quand   4 p³  + 27 q²  ≥ 0     est donnée par :

                x =  [ ( − q + √( q²  + 4 (p  / 3 )³ ) ) / 2) ] ^{(1 / 3 )}    +  [ ( − q − √( q²  + 4 (p  / 3 )³ ) ) / 2) ] ^{(1 / 3 )}                                

              c-à-d

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  SCHEMA.

          Soit  x = u + v  :

                               x³ + p x + q = 0    ⇔    u³ +v³ + ( 3 u v + p )( u + v ) + q = 0.

       En imposant  3 u v + p = 0   c-à-d  sous couvert de 3 u v + p = 0 :

         u³ + v³ + ( 3 u v + p )( u + v ) + q = 0       ==>  (    u³ + v³  = − q   et    u³  v³  = − ( p / 3 )³   ) 

         u³ + v³  = − q   et    u³  v³  = − ( p / 3 )³       <==>       u³ et  v³   sont solutions de    Y² + qY− (p / 3)³  = 0                   

    q² + 4 ( p / 3)³ ≥ 0    ==>  [    u et v sont    [ ( − q + √( q²  + 4 (p  / 3 )³ ) ) / 2) ] ^{(1 / 3 )}    

                                                                          et    [ ( − q − √( q²  + 4 (p / 3 )³ ) ) / 2) ] ^{(1 / 3 )} 

                     et   x =  [ ( − q + √( q²  + 4 (p  / 3 )³ ) ) / 2) ] ^{(1 / 3 )}    +  [ ( − q − √( q²  + 4 (p  / 3 )³ ) ) / 2) ] ^{(1 / 3 )}       

                            est une solution réelle de    x³ + p x + q = 0     ]

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       PROGRAMME EN PYTHON 2.7 pour la méthode de Cardan

from math import*
from decimal import*
def cardan():
       print  " Résolution de l'équation x^3 + p x + q = 0 "
       print  "en suivant la méthode historique de Cardan."
       print  " p et q sont des nombres réels. "
       p=input("Donner le réel p, coefficient de x : ")
       q=input("Donner le réel q , coefficient constant : ")

       print  " Ainsi on a : x^3 + (",p,")x + (",q,")= 0" 
       print  " L'équation du second degré associée est: "
       print  " y^2 + q y - ( p / 3 )^3 = 0 "
       print  " Elle se traduit par : "
       print  "y^2 +(",q,")y +(",−( p /3 )**3,") = 0"
       D= q**2 + 4 *( p /3 )**3
       print  " Son discriminant est D = ( 4 p^3 + 27 q^2 )/ 27   "
       print  " Ce discriminant D est du signe de  4 p^3 + 27 q^2 .  "
       print  " D = ", q**2 + 4 *( p /3 )**3   
       if  4* p**3 + 27 *q**2 >= 0:
            print  "   ",D,">= 0 "
            print  " On peut utiliser la méthode de Cardan pour avoir une racine réelle de l'équation de départ."
            m=(−q+ D**0.5)/2
            n=(−q− D**0.5)/2
            print  " Les solutions u^3 et v^3 de l'équation associée sont donc : ",m,"et",n
            print  "dont des racines cubiques réelles sont respectivement: " ," u =",(abs(m)/m)*(abs(m))**(1./3),"et ","v =",(abs(n)/n)*(abs(n))**(1./3)
            u=(abs(m)/m)*(abs(m))**(1./3)
            v=(abs(n)/n)*(abs(n))**(1./3)
           print  " On vérifie la condition imposée par Cardan au début, 3 uv+ p = 0 à 12 décimales près. "
           t=round( 3*u*v+ p ,12)
           if t == 0:
                print  "On a bien :  3 uv+ p =",t
                print  " Donc, c'est bien le cas. "
                print  " On considère alors , x = u + v "
                x= u+v
                print  " Une solution réelle trouvée pour : x^3 + (",p,")x + (",q,")= 0"," est donc : "
                print  "----------"
                print  "  x =", x
                print "----------"           

      else:
            print " Nous ne pouvons pas utiliser la méthode de Cardan sans faire appel aux nombres complexes. "

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   Exemple :

                Pour     x³ + 6 x − 20 = 0.

               On tape sur la touche F5

               Puis dans la fenêtre d'exécution on tape cardan() puis Retour.

                Il vient :

>>> cardan()
 Résolution de l'équation x^3 + p x + q = 0 
en suivant la méthode historique de Cardan.
 p et q sont des nombres réels. 
Donner le réel p, coefficient de x : 6
Donner le réel q , coefficient constant : −20
 Ainsi on a : x^3 + ( 6 )x + (− 20 )= 0
 L'équation du second degré associée est: 
 y^2 + q y − ( p / 3 )^3 = 0 
 Elle se traduit par : 
y^2 +( −20 )y +( −8 ) = 0
 Son discriminant est D = ( 4 p^3 + 27 q^2 )/ 27   
 Ce discriminant D est du signe de  4 p^3 + 27 q^2 .  
 D =  432
    432 >= 0 
 On peut utiliser la méthode de Cardan pour avoir une racine réelle de l'équation de départ.
 Les solutions u^3 et v^3 de l'équation associée sont donc :  20.3923048454 et −0.392304845413
dont des racines cubiques réelles sont respectivement:   u = 2.73205080757 et  v = −0.732050807569
 On vérifie la condition imposée par Cardan au début, 3 uv+ p = 0 à 12 décimales près. 
On a bien :  3 uv+ p = -0.0
 Donc, c'est bien le cas. 
 On considère alors , x = u + v 
 Une solution réelle trouvée pour : x^3 + ( 6 )x + ( −20 )= 0  est donc : 
----------
  x = 2.0
----------
>>>  

 Autre exemple :   

   Pour    x³  − 15 x− 4 =0.

                Même démarche :

>> cardan()
 Résolution de l'équation x^3 + p x + q = 0 
en suivant la méthode historique de Cardan.
 p et q sont des nombres réels. 
Donner le réel p, coefficient de x : -15
Donner le réel q , coefficient constant : -4
 Ainsi on a : x^3 + ( -15 )x + ( -4 )= 0
 L'équation du second degré associée est: 
 y^2 + q y - ( p / 3 )^3 = 0 
 Elle se traduit par : 
y^2 +( -4 )y +( 125 ) = 0
 Son discriminant est D = ( 4 p^3 + 27 q^2 )/ 27   
 Ce discriminant D est du signe de  4 p^3 + 27 q^2 .  
 D = >> cardan()
 Résolution de l'équation x^3 + p x + q = 0 
en suivant la méthode historique de Cardan.
 p et q sont des nombres réels. 
Donner le réel p, coefficient de x : −15
Donner le réel q , coefficient constant : −4
 Ainsi on a : x^3 + ( −15 )x + ( −4 )= 0
 L'équation du second degré associée est: 
 y^2 + q y − ( p / 3 )^3 = 0 
 Elle se traduit par : 
y^2 +(− 4 )y +( 125 ) = 0
 Son discriminant est D = ( 4 p^3 + 27 q^2 )/ 27   
 Ce discriminant D est du signe de  4 p^3 + 27 q^2 .  
 D =  −484
 Nous ne pouvons pas utiliser la méthode de Cardan sans faire appel aux nombres complexes. 
>>> 

                  Cardan ne fonctionne pas .

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•EXERCICE 1 :

            Essayer, avec la méthode de Cardan, de tenter de résoudre l’équation :

                               x³  − 15 x− 4 =0.

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  REPONSE: 

                   Ici on a    x³  + p x + q  = 0. 

                  avec      p = −15                 q = −4

                L’équation du second degré intermédiaire qu’il faut résoudre est donc:

                           y²  + q y − ( p / 3 )³ = 0

                         c-à-d

                            y² − 4 y + 125 = 0 

                         Son discriminant est :

                             ∆ =  42 − 4 *125 = − 484

                             ∆  < 0 .

                     Pas de solution dans IR pour cette équation du second degré.

                     Tout s'arrête.  

                        Conclusion :

                     Nous ne pouvons rien conclure quant à la résolution de l'équation 

                           x³ −15x−4 = 0    avec la méthode de Cardan.

                        La méthode de Cardan est bloquée.

                      Mais on peut voir cependant que  le réel x = 4 vérifie bien

                         x³  − 15x − 4 = 0

                      En effet :      64− 60 −4 = 0

                  Pour l'établir il faut faire appel à la résolution de  y²  − 4 y + 125 = 0

                  dans l'ensemble des nombres complexes.

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 •  EXERCICE 2:

          Essayer de résoudre l’équation x³  + 6 x − 20 = 0 avec la méthode de Cardan

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    REPONSE :

           On a:     x³  + p x + q  = 0

               avec p = 6  et q = − 20

          L’équation du second degré associée  intermédiaire qu’il faut résoudre est :

              y² + q y − ( p / 3 )³  = 0

                     c'est à dire

                   y²  − 20 y − 8 = 0 

                  Son discriminant est :

               ∆ = ( −20 )²  + 4 * 8 = 432    ( On peut utiliser le ∆ ' = 108   )

                   Donc    ∆ > 0 .

              Donc ses solutions réelles sont :

                      y = ( 20 +√432 ) / 2  = ( 2* 10 + 2*√108 ) / 2 =  10 + √108

               et     y =  (20 −√432 ) / 2  =  10 −√108

         Les racines cubiques de ces deux  solutions sont

                                u = + ou − [ 10 +√108 ]^{1 / 3} 

              et              v = + ou − [ 10 −√108] ^{1 / 3} 

                   De plus   uv = − p / 3 = − 2

              Donc u et v doivent être de signes contraires.

                Prenons :

                           u = [ 10 +√108] ^{(1 / 3)}

                       et  v = − [ 10 −√108] ^{( 1 / 3 )}

               Donc ils suffit de les sommer pour avoir une solution x 

             réelle de l'équation de départ :  x³  + 6 x − 20 = 0

                       x = u + v = [ 10 +√108] ^{(1 / 3)}   − [ 10 −√108] ^{(1 / 3)}   = 2

                          2,732 −  0,732 = 2

                   Conclusion :

                    2 est bien une solution réelle de

                      x³  + 6 x − 20 = 0

                     La méthode de Cardan a fonctionné.

                      On peut le vérifier :      8 + 12 − 20 = 0

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   • Explication  :

        Si l’on a une équation de la forme x³ + a x² + b x + c = 0 .

        Pour la mettre sous la forme  x³ + p x + q = 0

        Il suffit de poser on peut poser

                  x =  y − a / 3 

       En efffet : On remplace x .     

       On obtient alors :    (   y − a / 3  )³  + a (   y − a / 3  )²  + b (   y − a / 3  ) + c = 0

           Il suffit alors de développer et de réduire.

              Les deux termes du second degré  disparaissent

                 − a y²  + a y²    = 0 

          Il reste bien une équation en y de la forme

                         y³  + p y + q = 0 

           Une fois un y possible trouvé, on robtient  x  avec

               la relation       x = y − a / 3.

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