FEUILLE D'EXERCICES SUR LES POLYNÔMES
( Mathématiques expertes)
EXERCICE 1:
Soit k un nombre réel.
Soit x un nombre réel quelconque.
Montrer par récurrence sur IN*
que la différence xn − kn est factorisable par x − k pour tout entier naturel tel que n ≥ 1.
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REPONSE :
Récurrence sur IN*.
Soit x quelconque dans IR.
• n = 1
Alors xn − kn = x − k
c-à-d xn − kn = 1 ( x − k )
Conclusion : Pour n = 1 le résultat est avéré.
• Soit n un entier naturel quelconque dans IN*.
Montrons que si xn − kn est factorisable par x − k
alors xn + 1 − kn + 1 est factorisable par x − k.
On a en ajoutant 0 :
xn + 1 − kn + 1 = xn + 1 − x kn + x kn − kn + 1
c-à-d en factorisant x dans les deux premiers termes et
kn dans les deux derniers termes :
xn + 1 − kn + 1 = x ( xn − kn ) + kn ( x − k )
Mais on sait que xn − kn est factorisable par x − k .
Donc xn + 1 − kn + 1 est une combinaison linéaire de deux termes
factorisable par x − k .
Ainsi xn + 1 − kn + 1 est lui même factorisable par x − k .
D'où :
Conclusion :
Soit k un nombre réel .
La différence xn − kn est factorisable par x − k pour tout entier naturel n tel que n ≥ 1
pour tout nombre réel x.
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EXERCICE 2:
En acceptant le résultat de l'exercice précédent montrer que
tout polynôme P(x) à coefficients réels, qui admet un réel k
comme racine est factorisable par ( x – k ).
( On peut distinguer les cas où le degré de P( x ) est
0 ou 1 ou un entier n ≥ 2 )
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REPONSE :
• Cas 1 :
Soit P(x) un polynôme constant.
Alors il existe a dans IR tel que P(x) = a pour tout x dans IR.
Or P( k ) = 0
Donc : a = 0
Ainsi : P(x) = 0 pour tout x dans IR
c-àd :
P(x) = 0( x – k ) pour tout x dans IR
Conclusion : P(x ) est factorisable par ( x – k ) .
• Cas 2 :
Soit le polynôme P( x ) = a x + b où a et b sont des réels
et x dans IR .
Donc P( k ) = a k + b
Par soustraction membre à membre il vient:
P( x ) − P(k ) = a x + b − ( a k + b ) = a x + b − a k − b
c-à-d en factorisant a :
P( x ) − P( k ) = a (x − k ) pour tout x dans IR
Mais P( k ) = 0
Donc :
P(x )= a (x − k ) pour tout x dans IR.
Conclusion : P(x ) est bien factorisable par ( x – k ).
• Cas 3 :
Soit P(x) un polynôme degré n avec n ≥ 2 , à coefficients réels.
Alors P(x) admet une écriture de la forme:
P(x ) = an xn + an − 1 xn − 1 + …. + a1 x + a0 pour tout x dans IR.
où les an , an − 1 , ….. , a1 , a0 sont des nombres réels.
Soit x dans IR quelconque.
On a :
P( k ) = 0
c-à-d
0 = an kn + an − 1 kn − 1 + …. + a1 k + a0
Par soustraction membre à membre puis factorisation des coefficients
il vient :
P(x ) − 0 = an (xn − kn ) + an −1 ( xn − 1 − kn − 1 ) + …. + a1 (x – k)
P(x) est ainsi une combinaison linéaire des différences,
(xn − kn ) , (xn − 1 − kn − 1 ) , ......... , (x – k).
Or chacune de ces différences est factorisable par ( x – k ) .
Donc on peut factoriser ( x – k ) dans l'expression de P( x ) .
Conclusion : P(x ) est factorisable par ( x – k ) pour tout x dans IR.
Conclusion finale : Le résultat demandé est avéré:
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EXERCICE 3 :
Soit k un nombre réel.
Soit P( x ) un polynôme de degré n avec n ≥ 2 .
En admettant le résultat de l'exercice précédent,
Montrer que l'équivalence :
( P( k ) = 0 et P ' ( k ) = 0 ) <==> k est une racine double de P( x )
( c-à-d P( x ) est factorisable par ( x – k ) 2 )
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REPONSE :
Montrons les deux implications.
• ==>
Soit k un nombre réel.
Soit P( x ) un polynôme de degré n avec n ≥ 2 .
Soit P( k ) = 0 et P ' ( k ) = 0 .
On sait, que P( k ) = 0, implique que P( x ) est
factorisable par ( x – k ).
Donc, il existe un polynôme Q( x ) tel que :
P( x ) = ( x – k ) Q( x ) pour tout x dans IR
P étant dérivable sur IR, il vient alors:
P ' ( x ) = 1 Q( x ) + ( x – k ) Q ' ( x ) pour tout x dans IR
D'où pour x = k
P ' ( k ) = Q( k )
Mais on sait que P ' ( k ) = 0
Donc Q( k ) = 0
Ainsi Q( x ) est factorisable par ( x – k ).
c-à-d il existe un polynôme H( x )
tel que Q( x ) = ( x – k ) H( x ) pour tout x dans IR
On en déduit :
P ( x ) = ( x – k ) Q( x ) = ( x – k )2 H( x ) pour tout x dans IR
On a bien montré que k est une racine double de P( x )
Conclusion : La première implication est prouvée .
• <==
Pour l'implication réciproque.
Soit k un nombre réel.
Soit P( x ) un polynôme de degré n avec n ≥ 2 ,
qui admet la racine double k .
Alors il existe un polynôme Q( x ) tel que
P( x ) = ( x – k )2 Q( x ) pour tout x dans IR .
P( k ) = 0 est donc vrai.
De plus P est dérivable sur IR.
Il vient: P '( x ) = 2 ( x – k ) Q( x ) + ( x – k )2 Q '( x ) pour tout x dans IR .
Ainsi pour x = k il vient :
P '( k ) = 2 ( k – k ) Q( k ) + ( k – k )2 Q '( x ) = 0
On bien aussi : P '( k ) = 0
Conclusion : La réciproque est vraie.
Conclusion finale: L'équivalence est avérée
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EXERCICE 4:
Soit le polynôme P( x ) = x3 + p x + q
avec p – 75 et q = – 250
1 Trouver une racine réelle de P( x ) à l'aide de la méthode de Cardan.
2. Regarder si cette racine est une racine double de P( x ) .
3 . Donner la forme factorisée de P( x ).
4. Calculer 4 p3 + 27 q2 .
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REPONSE:
1. Recherche avec Cardan d'une racine réelle.
On peut le faire à la main ou avec le programme déjà rencontré.
Avec le programme de Python 2.7 :
>>> cardan()
Résolution de l'équation x^3 + p x + q = 0
en suivant la méthode historique de Cardan.
p et q sont des nombres réels.
Donner le réel p, coefficient de x : -75
Donner le réel q , coefficient constant : -250
Ainsi on a : x^3 + ( -75 )x + ( -250 )= 0
L'équation du second degré associée est:
y^2 + q y - ( p / 3 )^3 = 0
Elle se traduit par :
y^2 +( -250 )y +( 15625 ) = 0
Son discriminant est D = ( 4 p^3 + 27 q^2 )/ 27
Ce discriminant D est du signe de 4 p^3 + 27 q^2 .
D = 0
0 >= 0
On peut utiliser la méthode de Cardan pour avoir une racine réelle de l'équation de départ.
Les solutions u^3 et v^3 de l'équation associée sont donc : 125.0 et 125.0
dont des racines cubiques réelles sont respectivement: u = 5.0 et v = 5.0
On vérifie la condition imposée par Cardan au début, 3 uv+ p = 0 à 12 décimales près.
On a bien : 3 uv+ p = -0.0
Donc, c'est bien le cas.
On considère alors , x = u + v
Une solution réelle trouvée pour : x^3 + ( -75 )x + ( -250 )= 0 est donc :
----------
x = 10.0
----------
>>>
Conclusion :On trouve 10 comme racine réelle.
2 . Regardons si 10 est une racine double de P( x ) .
Soit x dans IR.
P ' ( x ) = 3 x2 − 75 = 3 ( x2 − 25 ) = 3 ( x − 5 ) ( x + 5 )
P ' ( x ) n'admet pas 10 comme racine .
Conclusion : 10 n'est pas une racine double de P( x )
( Attention: Cela ne veut pas dire pour autant que P( x ) n'admet pas
de racine double, mais seulement que ce n'est pas 10 . )
3 . Donnons la forme factorisée de P( x ) .
P( x ) est factorisable par ( x − 10 ) car 10 en est une racine.
Divisons P( x ) par ( x − 10 ).
| x3 − 75 x − 250 | x − 10 | |
| − ( x3 − 10 x2 ) | x2 + 10 x + 25 | |
| --------------------- | | |
| 10 x2 − 75 x − 250 | | |
|
− ( 10 x2 − 100 x ) |
|
| ---------------------------- | |
| 25 x − 250 | |
| − ( 25 x − 250 ) | |
| --------------------- | |
| 0 |
On a P( x ) = ( x − 10 ) ( x2 + 10 x + 25 )
x2 + 10 x + 25 = ( x + 5 )2 ( égalité remarquable )
Conclusion : P( x ) = ( x − 10 ) ( x + 5 ) ( x + 5 ) pour tour x dans IR
( Finalement il y a une racine double qui est : − 5 )
4. Calcul de 4 p3 + 27 q2 . .
4 p3 + 27 q2 = 4 ( − 75 ) 3 + 27 ( − 250 )2 = 0
Conclusion : 4 p3 + 27 q2 = 0
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