Sujet BB 22/1/11

   BAC. BLANC      22 Janvier 20 11      Mathématiques          TS         Durée :  4 Heures

                            la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans

              l’appréciation des copies.

       EXERCICE 1          6  POINTS

                                   Commun à tous les candidats   

                On considère l’équation différentielle :   y ' -  2 y = e^{2 x}     notée ( E )

        1. a.Démontrer que la fonction u définie sur IR par  u( x ) = x e^{2 x}   est une solution de ( E ).

            b. Résoudre l’équation différentielle :    y ' -  2 y = 0       notée ( E₀ )

        2. Démontrer qu’une fonction v , définie et dérivable sur IR , est solution de ( E ) si

             et seulement si  v - u  est solution de ( E₀ ).

        3. En déduire toutes les solutions de l’équation ( E ).

        4. Déterminer la fonction, solution de ( E ), qui prend la valeur 1 en 0.

        5. Le plan est muni d’un repère orthonormé ( O; vect( i ) , vect( j ) ) .

            Soit la fonction f définie surIR par  f ( x ) = ( x + 1 )e^{2 x} .

            On note ( C ) la courbe représentative de f dans le repère orthonormé( O; vect( i ) , vect( j ) ) .

             a. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

             b. Tracer ( C ).

       EXERCICE 2          5  POINTS

                           Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

                        Soit les nombres complexes   z₁  = ( √6 - i √2 ) / 2  et    z₂  = 1- i   .

           1. Mettre sous forme trigonométrique     z₁  ,  z₂   et  Z =   z₁    /  z₂  .

           2. En déduire que cos ( π/ 12 ) =  ( √6 + √2 ) / 4      et    sin ( π/ 12 ) =  ( √6 - √2 ) / 4   

           3. On considère l’équation d’inconnue réelle x :

                                      ( √6 + √2 ) cos x  + ( √6 - √2 ) sin x = 2

                a.  Résoudre cette équation dans IR .

                 b. Placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique.

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      EXERCICE 3          6  POINTS

                                                    Commun à tous les candidats            

   Partie A.

                                        Restitution organisée des connaissances :

                                        On connaît les résultats de cours suivants :

                « Une fonction définie et dérivable dans IR qui est égale à sa fonction dérivée

                  et qui prend la valeur  1 en 0 ,  ne s’annule pas dans  IR. »

                 « Si deux fonctions u et v sont définies et dérivables dans un intervalle I

                   avec v qui ne s’annule pas dans l’intervalle I  alors la fonction   u / v  est définie

                   et dérivable dans l’intervalle  I  et l’on a :  (  u / v ) ' = ( v u ' - u v ' ) / v ² . »

              a. Soit f et g deux fonctions définies et dérivables dans  IR telles que

                    f ' = f    et  f( 0 ) = 1      et    g '  =  g   et  g( 0 ) =1 .

                  Etablir que la fonction f  / g  est constante dans IR .

                  Que peut-on alors dire de f et g ?

              b.  Justifier qu’il ne peut exister qu’une seule fonction

                   définie et dérivable dans  IR qui est égale à sa fonction dérivée

                  et qui prend la valeur 1 en 0.      

    Partie B.

                           Le plan est muni d’un repère orthonormé ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) .

                           On note h la fonction définie sur IR par   h( x ) =  e^x   /  (  e^x   + 1 ).

                           On note ( Γ ) la courbe représentative de h .

                 1. Etudier le sens de variation de h.

                 2. Déterminer les limites de h en - ∞ et en +∞   .

                 3. a. Montrer que pour tout m dans l’intervalle ] 0 ; 1 [

                        l’équation h( x )  = m  admet une unique solution

                         α_m  dans IR .

                     b. Soit m  =1 / 2 .

                         Trouver, par le calcul, la valeur exacte de α_m .             

                 4.  Soit A le point de coordonnés ( 0 ; 1 / 2 ).

                     Déterminer une équation de la tangente T à (  Γ )  au point A.

                  5. Soit la fonction φ définie sur IR  par  φ( x ) =( 1 / 2 ) + (  x / 4 ) - h( x )  .

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                    Montrer que sa fonction dérivée a pour expression

                        φ'( x ) = (  e^x  - 1 )²  / ( 4 ( 1 + e^x  ) ² )

                    A l’aide du signe de  φ'( x )  suivant x dans  IR donner les positions relatives

                     de T et ( Γ ).

           EXERCICE 4          3  POINTS

                                           Commun à tous les candidats   

               QCM

                          Vous devez indiquer par OUI ou par NON  pour chaque question

                          la ou les bonne affirmation  parmi les trois affirmations proposées.

                          Pour être prise en compte une question devra être

                          entièrement et correctement traitée.               

                          Aucune justification n’est demandée.

        1. L’inéquation  3 e ^x  -  7 e ^{- x}   + 4   ≥ 0   équivaut  à :

               a.   3 ( e ^x )² + 4 e  ^x   - 7   ≥ 0          b.  x = 0           c.   e ^x  = 1

         2. Soit la suite  ( u ) telle que  u₀ = 1  et    u_{n + 1}  = ( u_n )²  + u_n   pour tout n dans IN.    

              a.   Elle est croissante.        b. Elle n’est pas monotone.       c. Elle est constante.  

         3. Soit la fonction g définie dans  IR - { 1 }  par g ( x ) = x / ln x    quand  x est dans  IR - { 1 } .

            a.  g est croissante sur ] e , + ∞[  .         b.   g ( 4 ) = 2 / ln 2 .             c.  g' ( x ) = ( ln x - 1 ) / ( ln x )².

         4. Soit la fonction f définie dans  IR  par f ( x ) = (  e ^x - 1   ) / (  e ^x + 1 )  .

            a.  f ' > 0                 b.  f ' ( x ) = 2 e^x / (   e ^x + 1 )²              c.  f ( x ) = 1 -  2 / (  e ^x - 1 )

         5. L’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que  | z - 1 + i √2 | = | z - 1 -  i √2 | est :

              a. Une droite.                    b.  Un cercle.                    c . L’axe des abscisses. 

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   ANNEXE à remettre avec la copie.

   N° ………………     

         Entourer NON  ou  entourer OUI pour chaque affirmation de chaque question.    

         Toute erreur dans une question annule la question.                                                                

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