Entraînement 7 mai 2014 TS1

               Entraînement bac sur la géométrie dans l'espace        mai  2014      TS1                  

                            Une sphère ( S ) de centre Ω est tangente à un plan  ∏ en un point H de ∏

                             si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

                             H est dans ( S ).

                             Ω est sur la droite passant par H et orthogonale au plan  ∏ .

                  EXERCICE:

                L'espace est muni d'un repère orthonormé

                     Repere

                Le plan ∏ coupe les axes du repère en les points  A( a ; 0 ; 0 )  , B( 0 ; b  ; 0 )

                 et  C( 0 ; 0 ; c ) avec a , b , c trois réels tels que abc ≠ 0.

                 1. Vérifier qu'une équation du plan  ∏  est : 

                                   Equapl

                2. On considère désormais les points  A( 4 ; 0 ; 0 )  , B( 0 ; - 4 / 5  ; 0 )

                    et  C( 0 ; 0 ; 4 ).

                              a.  Donner une équation du plan  ∏.

                              b. Donner un vecteur normal au plan  ∏.

                              c. Déterminer les coordonnées du point H du plan ∏ d'abscisse 2

                                 et d'ordonnée 1.

                 3.  Proposer  une représentation paramétrique de la droite D passant

                       par le point H et orthogonale au plan  ∏.

               4. Trouver les coordonnées des points M de D tels que MH = 3.

               5. Donner  les équations des sphères  ( S ) et ( S ' ) tangentes à  ∏  en H et de rayon 3.

                    ( On notera Ω et Ω '  les centres respectifs.)

                6.a. Quel est le plan médiateur du segment [ Ω Ω ' ] ?

                   b. Donner une équation du plan  ∏ ' parallèle au plan  ∏  passant par le point 

                      E( 0; 4; 0 ).

                   c. Le point E est-il dans D?

                   d. Quel est le point d'intersection du plan  ∏ ' avec la droite D ?

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