INFO Ex 2 DS 18 avril 2015

     EXERCICE 4     Pondichéry  2015    S

 Sujet pondichery 2015

             REPONSES:

   1.  Figure:

                    Figsuj

  2. Regardons si M, N et  P sont alignés.

                       Devct

         Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires .

           En effet :

             14dfg

           Conclusion : MNP ne sont pas alignés

    3.a. Dans l'annexe on obtient avec le premier algo:

             k =   − 1  ×  0 + ( 0,5 ) × ( − 1 )   + 0,25 × (−  2 ) = 0

       b. On obtient que le produit scalairede ces deux vecteurs est nul :

                1dg54

           Conclusion:  Le triangle MNP est rectangle en M.

    4. Pour l'algo n° 2  il faut ajouter:

            14kj5

          5.a. Le plan ( MNP ) admet comme équation cartésienne :  5 x − 8 y + 4 z = 0.

                    En effet:

                Comme un vecteur normal est de coordonnées (  5 ; − 8 ;  4 )   l'équation 

                 est de la forme:     5 x − 8 y + 4 z  +  s = 0

                Mais le point N ( 0 ; 0 , 5 ; 1 )    est dans le plan (MNP ).

              Donc              − 8 × 0,5  + 4   +  s = 0    c-à-d   s = 0

           b. La droite Δ  a pour représentation paramétrique :

                       x = 1 + 5 t

                       y = − 8 t

                        z = 1 + 4 t

                      où t est dans IR

         car elle passe par le point F( 1 ; 0 ; 1 ) et st de vecteur directeur 

               de coordonnées ( 5 , − 8 ; 4 )

         6. a . Les coordonnées du point K vérifient l'équation

                   5 x − 8 y + 4 z   = 0 du plan ( MNP). 

                  Donc K est dans le plan ( MNP)

                 De plus quand on pose :

                          4 / 7 = 1 + 5 t              c-à-d  − 3 / 7 = 5 t

                          24 / 35  = − 8 t           c-à-d      3 / 35 = − t

                          23 / 35 = 1 + 4 t        c-à-d       − 12  / 35 = 4 t

                         On obtient ainsi : t = − 3 / 35

                          Donc le point K est aussi  sur la droite Δ.

                   Conclusion   :    { K } =  Δ ∩ ( MNP )

                  b. Le volume du tétraèdre MNPF est :

                   V = ( 1 / 3 ) FK  ×    0,5 ×  MN × MP

                  On nous donne FK = √ ( 27 / 35 )

                MN = √(  ( − 1 )2 +  ( − 0, 5 )2 +   0,252   = √( 21 / 16 )  = ( 1 / 4 ) √21

                MP = √(   02 +  12 +  ( − 2 )2    = √ 5

              Ainsi :   V =  ( 1 / 3 )×√ [ (3 × 9 ) / ( 7 × 5 )]  × ( 1 / 2 ) ×  ( 1 / 4 ) √( 3 × 7)   × √ 5

                                V =  (1 / 24 )√ 81   = 9 / 24  = 3 / 8

                    Conclusion :   V = 3 / 8

-------------------------------------------------------

             Annexe pondichery

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------