SPE TES

• Le plan (P) a pour équation x − 2y + 3 z +5 = 0.
• Le plan (S) a pour représentation paramétrique

x = − 2 + t + 2 t ′
y = − t − 2 t ′
z = −1 − t + 3 t ′
• La droite (D) a pour représentation paramétrique
x = − 2 + t
y = − t
z = − 1 − t
    On donne les points de l’espace M( − 1 ; 2 ; 3 ) et N( 1 ; − 2 ; 9 ).
1. Une représentation paramétrique du plan (P) est :
a.   x = t   b. x = t + 2 t
y = 1 − 2 t   y = 1 − t + t ′
z = − 1 + 3 t z = − 1− t

c.   x = t + t ′    d.   x = 1 + 2 t + t ′
y = 1− t −2 t ′   y = 1 − 2 t + 2 t ′
z = 1− t −3 t ′   z = − 1 − t ′

2. a. La droite (D) et le plan (P) sont sécants au point A(−8 ; 3 ; 2).
b. La droite (D) et le plan (P) sont perpendiculaires.
c. La droite (D) est une droite du plan ( P ).
d. La droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles.

3. a. La droite (MN) et la droite (D) sont orthogonales.
b. La droite (MN) et la droite (D) sont parallèles.
c. La droite (MN) et la droite (D) sont sécantes.
d. La droite (MN) et la droite (D) sont confondues.

4. a. Les plans (P) et (S) sont parallèles.
b. La droite ( Δ ) de représentation paramétrique

x = t
y = − 2 − t
z = − 3 − t
est la droite d’intersection des plans (P) et (S).
c. Le point M appartient à l’intersection des plans (P) et (S).
d. Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires.

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REPONSE:

Les bonnes réponses sont : 1b. 2.c. 3.a. 4.b.
1. Le plan (P) a pour équation x − 2 y + 3 z + 5 = 0.

Donc il a pour vecteur normal le vecteur
_→
^{n ( 1 ; − 2 ; 3 )}.

a) C'est une mauvaise réponse car la proposition est une représentation

paramétrique d'une droite et non celle d'un plan.

b) C'est la bonne réponse.

En effet:

• On a la représentation paramétrique d'un plan de vecteur directeurs

_→ _→

^{u ( 1 ; − 1 ; − 1 )} ^et ^{v ( 2 ; 1 ; 0 )}

passant par le point G( 0 ; 1 ; − 1 ) _→

Chacun de ces deux vecteurs directeurs est orthognal au vecteur n

normal du plan P car

1 × 1+ ( − 1 ) × ( − 2 ) + 3 × ( − 1 ) = 0

2 × 1 + 1× ( − 2 ) + 0 × 3 = 0

• Le point G a ses coordonnées qui vérifient l'équation du plan P

car 0 − 2 × 1 + 3 × ( − 1 ) + 5 = 0

La représentation parmétrique est une représentation paramétrique aussi du plan P

2. La bonne réponse est c.
En effet :

• La droite D passe par le point B( − 2 ; 0 ; − 1 ).

Or les coordonnées de B vérifie l'équation cartésienne de P.

En effet:

1× ( − 2) + ( − 2 ) × 0 + 3 × (− 1 ) + 5 = 0

→

• Le vecteur u ( 1 ; − 1 ; − 1 ) est un veteur directeur de D

mais aussi l'un des deux vecteurs directeur de P.

La droite D est donc incluse dans P.

3. La bonne réponse est a.

En effet: →

On a: MN ( 2 ; − 4 ; 6 )

et →

le vecteur u ( 1 ; − 1 ; − 1 ) un veteur directeur de D.

Or ils sont orthogonaux car:

2 × 1 + ( − 4 ) × ( − 1 ) + 6 × ( − 1 ) = 0

Donc les droites ( MN ) et D sont orthogonales.

4. La bonne réponse est b.

En effet:

Le plan (S) a pour représentation paramétrique

x = − 2 + t + 2 t
y = 0 − t − 2 t
z = − 1 − t + 3 t
Ainsi le plan (S) passe par le point B(− 2 ; 0 ; −1) et a pour vecteurs directeurs
_→ _→
u ( 1 ; − 1 ; − 1 ) et w ( 2 ; − 2 ; 3 )

Mais on a vu que la droite (D) passe par le point B et est de vecteur directeur

_→
u ( 1 ; − 1 ; − 1 )

Donc D est incluse dans le plan S.

On a vu aussi dans la seconde question que la droite D est une droite du plan P.
 Mais les droites D et Δ sont en fait les mêmes car Δ passe par le point B

obtenu pour t = − 2 dans la représentation paramétrique de Δ et est de

vecteur directeur aussi

_→
u ( 1 ; − 1 ; − 1 ).

D = Δ = P ∩ D

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