INFO 2 DEVOIR MAISON: juin 2012

                                    INFO 2    Devoir Maison TS     juin 2012  

             EXERCICE 72

                      Soit ABCD un tétraèdre régulier d'arête a et I, J et K les milieux

                      respectifs de [BC] , [AC] et [AD].

                          tetraedre9-72-ts.jpg

                        ( Chaque face est un triangle équilatéral de côté de longueur a )

                        Soit A '  le centre de gravité du triangle BCD.

                  a. Calculer le produit scalaire vect(CD).vect(AD).

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                       Réponse:

            DANS LES PLANS DE L'ESPACE LES REGLES DE LA GEOMETRIE PLANE

           S'APPLIQUENT .

                   Il suffit de raisonner dans le triangle équilatéral ACD.

               fig5-72.jpg

                   Soit L le milieu du segment [ CD ].

                  ( AL) est la hauteur issue de A.

                 Le projeté orthogonal du point A sur ( CD ) est L.

                Ainsi le vect( AD ) se projette sur le vecteur  vect(CD) suivant le 

                vecteur vect( LD).   On a  vect( LD) = (1 /2 ) vect( CD)

                 Donc :    

               vect(CD).vect(AD)=  vect(CD).( (1 /2 ) vect( CD) ) = (1/2 ) CD2 = ( 1/ 2 ) a2 

             Conclusion :   vect(CD).vect(AD)=   a2  / 2

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                     b. Calculer le produits scalaires:

                        vect(JK) . vect(AD)      et   vect( IK) . vect(AD )

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                       Réponse:

               •  Pour  vect( JK) . vect(AD) .

                      Plaçons nous encore dans le triangle équilatéral   ACD.

                        fig6-72.jpg

                    J est le milieu de [AC].

                    K est le milieu de [AD].

                    ( JK ) est une droite des milieux.

                  ( L'homothétie de centre A et de rapport 1/2 transforme [CD] en [JK] )

                 Ainsi on a  :   vect(JK ) = (1 / 2 ) vect( CD )

                  Donc  :  

     vect(JK) . vect(AD) =  ( (1 / 2) vect(CD) ). ( vect(AD)= (1/2)  vect(CD) ). vect(AD) = (1/2)×(1/2)a2 

              Conclusion :     vect(JK) . vect(AD) = (1/4) a2

              • Pour  vect(IK) ) . vect(AD) .

                  tetraedre8-72-ts.jpg

                On a :

                 vect( JK).vect(AD)= ( vect( JI) + vect(IK) ) . vect(AD)        avec Chasles

               c-à-d

                  vect( JK).vect(AD)=  vect( JI). vect(AD)   +  vect(IK)  . vect( AD)

                    (1/4)a2  -   vect( JI). vect(AD) = vect(IK)  . vect( AD)

                  Or                 

                      vect(JI) = (1/2) vect( AB)

                      Donc:     vect(JI)  . vect( AD) = (1/2) vect(AB). vect(AD)

                      Mais   vect(AB). vect(AD) = (1/2) a2    ( Comme vect(CD).vect(AD) )

                      D'où    vect(JI)  . vect( AD) = (1/2) ×  (1/2) a2    = ( 1/4 )a2  

                 En reportant:

                               ( 1/4 )a2   -   ( 1/4 )a2    = vect(IK)  . vect( AD)

                  Conclusion :    vect(IK)  . vect( AD) = 0

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                  c. Démontrer que la droitre (AA' ) est orthogonale au plan (BCD).                   

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                     REPONSE:

                      Il suffit de montrer que la droite (AA' ) est orthogonale à deux

                     droites sécantes du plan (BCD).

                     Comme droites sécantes du plan il y a (CD ) et ( CB ).

                     •Montrons que (AA' ) est orthogonale à (CD).

                       Soit L le milieu du segment [CD].

                        Il suffit de montrer que [CD] est orthogonal à un plan contenant 

                       (AA' ).

                        Montrons pour cela que [CD] est orthogonal au plan (ABL).

                        Dans les triangles équilatéraux ACD et BCD , les droites (AL) 

                        et (BL) sont respectivement aussi des hauteurs.

                        Donc  [CD] est orthogonal à (AL)  et [CD] est orthogonal à (BL).

                       Mais ( AL) et ( BL) sont deux droites sécantes du plan (ABL).

                        Ainsi [CD] est orthogonal au plan (ABL) qui contient (AA' ).

                       On a bien  [CD] est orthogonal à  (AA' )

                        tetraedre-72-ts.jpg

              •De la même façon on montre que [CB] est orthogonal au plan 

                 ( ADI) qui contient (AA' ).

               Ainsi [CB] est orthogonal à (AA' ).

                        tetraedre2-72-ts.jpg


                  Finalement (AA' ) étant orthogonale à [CD] et [CB] , (AA' ) est 

                   orthogonale au plan (BCD) .

                  Conclusion : Le résultat est avéré.


                     tetraedre3-72-ts.jpg

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