INFO Entraînement 7mai 2014 TS1

         INFO  Entraînement bac sur la géométrie dans l'espace        mai  2014      TS1                  

                            Une sphère ( S ) de centre Ω est tangente à un plan  ∏ en un point H de ∏

                             si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

                             H est dans ( S ).

                             Ω est sur la droite passant par H et orthogonale au plan  ∏ .

          EXERCICE:

                L'espace est muni d'un repère orthonormé

                Le plan ∏ coupe les axes du repère en les points  A( a ; 0 ; 0 )  , B( 0 ; b  ; 0 )

                 et  C( 0 ; 0 ; c ) avec a , b , c trois réels tels que abc ≠ 0.

                 1. Vérifier qu'une équation du plan  ∏  est : 

                  REPONSE:                     

                • Les points  A( a ; 0 ; 0 )  , B( 0 ; b  ; 0 ) et  C( 0 ; 0 ; c )sont  distincts de l'origine

                   car abc ≠ 0 et situés sur les axes.

                   Ils ne sont donc pas alignés. Ils déterminent bien un plan   ∏.

                 •  Comme  a , b , c sont des réels non nuls on a

                     1 / a , 1 / b  , 1 / c  qui sont des réels non nuls .

                     L''équation donnée peut s'écrire :

                      Elle est don de la forme:              

                          u x + v y + w z + d = 0           avec u , v , w , d des réels 

                                                                            et ( u, v , w ) ≠ ( 0 , 0, 0 )

                    Il s'agit bien d'une équation de plan.

                   • De plus les coordonnées des point A , B C vérifient cette équation.

                     Conclusion: OUI. C'est une équation du plan 

                2. On considère désormais les points  A( 4 ; 0 ; 0 )  , B( 0 ; - 4 / 5  ; 0 )

                    et  C( 0 ; 0 ; 4 ).

                              a.  Donner une équation du plan  ∏.

                                     REPONSE:

                                    L'équation de  ∏ s'écrit :

                                   Donc  en multipliant par 4  et en transposant il vient :

                                   Conclusion:    x - 5 y + z - 4 = 0

                              b. Donner un vecteur normal au plan  ∏.

                                  REPONSE: 

                                      Par simple lecture de l'équation on peut proposer:

                              c. Déterminer les coordonnées du point H du plan ∏ d'abscisse 2

                                 et d'ordonnée 1.

                                REPONSE:

                                    En remplaçant  x par 2 et u par 1 dans l'équation de  ∏  il vient z - 7 = 0

                                         On tire  z = 7

                                  Conclusion:  On a H( 2 ; 1 ; 7 )

                 3.  Proposer une représentation paramétrique de la droite D passant

                       par le point H et orthogonale au plan  ∏.

                               REPONSE:

                             On considère :

                                    H( 2 ; 1 ; 7 ) comme point de D et 

                                    comme vecteur directeur de D.

                              Donc:

                             Conclusion:

               4. Trouver les coordonnées des points M de D tels que MH = 3.

                        REPONSE:

                           • On a  le point  H( 2 ; 1 ; 7 )

                           • Il existe t dans les réels tels que les coordonnées de M soient:

                            • On a :   MH = 3    c-à-d     MH² = 9

                               c-à-d

                            Pour chaque valeur de t correspont un point M.

                            Donc  on obtient les points:                                 

               5. Donner les équations des sphères  ( S ) et ( S ' ) tangentes à  ∏  en H et de rayon 3.

                    ( On notera Ω et Ω '  les centres respectifs.)

                     REPONSE:

                        Les centres des sphères ( S ) et ( S ' ) sont sur la droites D

                        à une distance 3 du point H car elles sont de rayon 3 et tangentes à ∏  en H.

                        Donc les points Ω et Ω ' ne sont autres que les deux points M  trouvés précédents.

                        Les équations des sphères sont donc:

                        Conclusion:

               6. a. Quel est le plan médiateur du segment [ Ω Ω ' ] ?

                       REPONSE:

                        • Le segment [ Ω Ω ' ] est sur D.

                          Le plan  ∏ est orthogonal à D donc à  [ Ω Ω ' ].

                        • De plus les points  Ω Ω ' et H de D sont tels que  ΩH = H Ω '.

                             H est donc le milieu de [ Ω Ω ' ]

                            Le plan  ∏  passe par le point H milieu du segment  [ Ω Ω ' ].

                            Conclusion :  Le  plan  ∏ est le plan médiateur du segment  [ Ω Ω ' ]

                   b. Donner une équation du plan  ∏ ' parallèle au plan  ∏  passant par le point 

                      E( 0; 4; 0 ).

                             REPONSE:

                                 ∏  et  ∏ '  admettent le même vecteur normal.

                               Donc:

                                ∏ '   admet une équation de la forme x - 5 y + z + d = 0

                                De plus    ∏ '   passe par le point   E( 0; 4; 0 ).

                               Donc :   - 20 + d = 0 

                              c-à-d  d = 20

                          Conclusion:    Une équation de     ∏ '   est   x - 5 y + z + 20 = 0

                   c. Le point E est-il dans D?

                        REPONSE:

                            Posons: 

                                 0 = 2 + t

                                 4 = 1 - 5 t

                                 0 = 7 + t                   où t est dans les réels

                        c-à-d 

                                t = - 2

                                t =  - 3 / 5

                                t = - 7

                                      IMPOSSIBLE

                           Conclusion:  NON.  Le point E n'est pas sur D

                   d. Quel est le point d'intersection du plan  ∏ ' avec la droite D ?

                         REPONSE:

                           Considérons:

                        Un point F( 2 + t ; 1 - 5 t ; 7 + t  )  de D  où t est un réel

                        dont les coordonnées vérifient l'équation x - 5 y + z + 20 = 0

                        de  ∏ '.

                         On a:

                              ( 2+ t ) - 5 ( 1 - 5 t ) + ( 7 + t ) + 20 = 0

                   c-à-d 

                                24 + t + 25 t + t = 0

                   c-à-d

                                     27 t = - 24 

                  c-à-d

                                          9 t = - 8

                  c-à-d

                                          t = - 8 / 9

                     En reportant:

                        Les coordonnées sont:

                         F ( 2 - 8 / 9 ; 1 + 40 / 9  ;  7 - 8 / 9 )

                      c-à-d

                         F ( 10 / 9    ;   49 / 9    ;   55 / 9 )

                  Conclusion: Le point d'intersection de D avec ∏ '  est :

                            F ( 10 / 9    ;   49 / 9    ;   55 / 9 )

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