INFO EX 2 BAC BLANC 25mars2015 TS1

         TS1  INFO         BAC BLANC         TS1      mercredi 25/ mars 2015

        EXERCICE 2        Pondichéry 2012          5 points

      Partie A     

                 ROC.

                   Soit  z1   et  z2   deux nombres complexes.

                   Démontrons que:   | z1 z2 |  =   |z1  | × | z2 |

                   Cela revient à établir que :      | z1 z2 |2  =   |z1  |2  × | z2 |2         ( 1 )

                   Mais  pour tout nombre complexes z on a:

                                    U22

                     Etablir  ( 1 )   revient à établir :

                                U23

                   Pour cela il suffit de montrer que :

                               U24                  ( 2 )

                       En posant  z1 = a + i b   et   z2 = a '  + i b'

                        il est immédiat que l'on a :

                          z1  z2   =  ( a a' - b b ' ) +  i ( a ' b + a b ' )

                      Le conjugué de   z1  z2   est :

                        ( a a' - b b ' ) - i ( a ' b + a b ' ) =   (  a -  i b )  ( a '  - i b ' )  

                      D'où l'égalité ( 2 ).

                        Conclusion: Le résultat est avéré.

        Partie B          

            Soit f  la transformation ( c'est une application ( "bijective" ) du plan dans le plan )

             qui à tout point M d'affixe  z ≠  1 associe le point M ' d'affixe  z '  tel que :

                            U14

          1. Soit C le point d'affixe  zC  =  − 2 + i.

        a. Calculons l'affixe  zC '  du point C '  image de C par f .

                   En remplaçant z par zC  dans  l'égalité:

                                    U14

                    On obtient:

                            U26

                            Conclusion:

                                         U15 1

       b. Montrons que le point  C ' appartient au cercle  

                                                  U27 1

                  de centre O et de rayon 1.       

                 En effet:

                             U28

                           Ainsi :

                                          U16

                                Cela se traduit géométriquement par :         OC ' = 1   

                    Conclusion :  Le point C ' est bien sur le cercle

                             U27 1

           c. Montrons que les points A , C , C' sont alignés.

                      On a :

                U29

                   Conclusion: Les points A , C , C ' sont alignés

      2. Déterminons Δ  l'ensemble des points M du plan tels que A soit leur image par f.

          Considérons pour cela :

                        U18

                     Rappel :

                            U30

               Conclusion:  

            On obtient la droite Δ verticale passant par le point A privée du point A.

           3. Montrons que pour tout point M distinct de A , le point M ' est sur le cercle 

               U27 1 

                     En effet:

                            On a:

                          U20 1

              Cela se traduit géométriquement par:              

                        O M' = 1

             Conclusion :  Tout point M distinct de A  a une image M'   sur le cercle 

                                              U27 1

      4.  Montrons que pour tout nombre complexe   z ≠ 1    on a :

                               U21

             Soit  z ≠ 1

             On  a :

                               U35

                           Le dénominateur est un module nonn nul donc

                               un réel strictement positif :   | z − 1 |2   

                           Le numérateur est un réel:     2 − 2 Re( z )

                        Donc:

                     Conclusion:  Quand    z ≠ 1  

                           U21

              On peut en déduire que quand  M ≠ A  les points  A M et M ' sont alignés.

   5. Pour un point D distinct du point A plaçons le point image D '.

                       On dispose à présent de deux information.

                         Comme D ≠ A on a :

                             • Le point D ' sera sur le cercle  

                                        U27 1 

                             •  Les points A , D  , D ' sont alignés.

                Comme le point A est sur le cercleU27 1 il suffit de considérer la seconde intersection

               du cercle U27 1  avec la droite ( AD )  pour obtenir le point D.

                   Figure:

                                      U39

             De la même façon les points C A et C ' sont alignés et C '  est sur le cercle   U27 1

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